Hipótesis nula de equivalencia

Supongamos que son una muestra aleatoria simple de una distribución Normal . ( μ , σ 2$X_1, X_2, \, ... \, , X_n$$(\mu,\sigma^2)$

Estoy interesado en hacer la siguiente prueba de hipótesis: para una constante dada .c >

$$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$$ $c > 0$

Estaba pensando en realizar dos pruebas unilaterales (TOST) de forma análoga a la situación habitual de las pruebas de bioequivalencia, donde nulo y es lugar, pero no sé si esto tiene sentido o es correcto.| μ | ≥ $t$$|\mu| \ge c$

Mi idea es realizar las pruebas unilaterales y y rechaza la hipótesis nula global si uno de los valores es menor que un nivel de significancia .H 02 : μ ≥ -

$$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$$ p $$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$$ $p$$\alpha$

¡Gracias por adelantado!

EDITAR:

He estado pensando un poco sobre esto, y creo que el enfoque que propuse no tiene un nivel de significancia .$\alpha$

Suponga que se conoce el verdadero valor de es y .μ 0 σ $\mu$$\mu_0$$\sigma^2$

La probabilidad de rechazar el valor nulo en la primera prueba es donde si el cdf estándar de la distribución Normal, y es un valor tal que .Φz1-αΦ(z1-α)=1-

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$$ $\Phi$$z_{1-\alpha}$$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

Si , . Entonces, si , . Alternativamente, si , .$\mu_0 = c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$$\mu_0 > c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$$\mu_0 < c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

La probabilidad de rechazar el valor nulo en la segunda prueba es

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$$

Nuevamente, si tenemos . Del mismo modo, si , . Finalmente, si , .$\mu_0 = -c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$$\mu_0 > -c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$$\mu_0 < -c$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

Dado que las regiones de rechazo de las dos pruebas son disjuntas, la probabilidad de rechazar es: $H_0$

$$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$$

Entonces, si , es un límite superior de la probabilidad de rechazar la hipótesis nula (global). Por lo tanto, el enfoque que propuse era demasiado liberal.$\mu \in [-c,c]$$2\alpha$

Si no me equivoco, podemos alcanzar un nivel de significancia de haciendo las mismas dos pruebas y rechazando el valor nulo si el valor de una de ellas es menor que . Un argumento similar se mantiene cuando la varianza es desconocida y necesitamos aplicar la prueba .$\alpha$$p$$\alpha/2$$t$

Muy interesante pregunta !!

Está utilizando la consecuencia lógica, es decir, la condición de vinculación. Esta condición de vinculación forma la base misma de la lógica clásica, garantiza la inferencia o deducción de un resultado de una premisa.

El razonamiento detrás de su propuesta es el siguiente:

Si implica , entonces los datos observados deberían generar más evidencia contra que .$H_0$$H_0'$$H_0$$H_0'$

En términos de sus hipótesis auxiliares y , tenemos , es decir, implica y también implica . Por lo tanto, de acuerdo con la condición de vinculación, debemos observar más evidencia contra que o . Luego, concluyó que si uno de los valores p calculados bajo o es suficientemente pequeño, el valor p calculado bajo será aún más pequeño.$H_{01}$$H_{02}$$H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$$H_{0}$$H_{01}$$H_{0}$$H_{02}$$H_{0}$$H_{01}$$H_{02}$$H_{01}$$H_{02}$$H_0$

Sin embargo, este razonamiento lógico no es válido para los valores p, es decir, los valores p no respetan la consecuencia lógica. Cada valor p se construye bajo una hipótesis nula específica, por lo tanto, los valores p para diferentes hipótesis nulas se calculan bajo diferentes métricas. Por esta razón, los valores p no pueden respetar el razonamiento lógico sobre el espacio del parámetro (o el espacio de las hipótesis nulas).

En Schervish (1996) y Patriota (2013) se presentan ejemplos de valores p que violan la condición de vinculación. El último artículo muestra ejemplos de una distribución normal bivariada y de un modelo de regresión (ver ejemplos 1.1 y 1.2 en las páginas 5 y 6, respectivamente). Eran Raviv proporciona un algoritmo en código R para el caso bivariado. El aprendizaje de estos ejemplos es: debe calcular el valor p directamente para la hipótesis nula de interés. Schervish (1996) proporciona una fórmula de valor p para su ejemplo cuando y , vea Fórmula (2) en la página 204. Si desea calcular un valor p, debe adecuar esa fórmula para Tu caso.$n=1$$\sigma^2 = 1$

Patriota (2013) propone una nueva medida de evidencia para probar hipótesis nulas generales (hipótesis nulas compuestas o simples) que respeta la consecuencia lógica. Esta medida se llama valor s en el documento. El procedimiento es relativamente simple para su ejemplo:

1. Encuentre un intervalo de confianza (1- ) para (uno asintótico): , donde es el promedio de la muestra, es la varianza de la muestra , es el cuantil de una distribución normal estándar es el tamaño de la muestra.$\alpha$$\mu$$I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$$\bar{x}$$s^2$$z_{{\alpha}/{2}}$${\alpha}/{2}$$n$

2. Encuentre el valor para el cual la amplitud de es mínima y tiene al menos un elemento en común con (es decir, el borde de ). Este es el valor .$\alpha^*$$I(\mu, \alpha^*)$$\{-c, c\}$$[-c,c]$$\alpha^*$$s$

3. Por un lado, si , entonces la muestra observada está corroborando con la Hipótesis nula ; Si el valor es lo suficientemente pequeño, puede aceptar el valor nulo. Por otro lado, si , la muestra observada proporciona información contra la hipótesis nula ; Si el valor es lo suficientemente pequeño, puede rechazar el valor nulo. De lo contrario, no debe rechazar ni aceptar el nulo.$\bar{x} \in [-c,c]$$H_0: |\mu|\leq c$$s$$\bar{x} \not \in [-c,c]$$H_0$$s$

Observe que, si y el valor respectivo es extremadamente pequeño, esto significa que la hipótesis alternativa está muy lejos del valor plausible máximo, . Si y el valor respectivo es extremadamente pequeño, esto significa que la hipótesis nula está muy lejos del valor plausible máximo, . Intente dibujar una imagen que represente el intervalo de confianza y la hipótesis nula de interés para comprender mejor las conclusiones. Para obtener más información, lea el documento original Patriota (2013).$\bar{x}\in [-c,c]$$s$$\bar{x}$$\bar{x}\not \in [-c,c]$$s$$\bar{x}$

Cómo encontrar umbrales objetivos para aceptar o rechazar el valor nulo utilizando este valor- sigue siendo un problema abierto. Este enfoque es bueno porque ahora podemos aceptar una hipótesis nula. Esto tiene sentido siempre que la muestra observada corrobora con el valor nulo y está muy lejos de la alternativa. En su ejemplo se puede observar para , , y . Es bastante simple ver que la densidad de datos está extremadamente concentrada en (diez veces el error estándar). Para tener una intersección no vacía con se requieren 99900 errores estándar. Por lo tanto, sería lo suficientemente justo como para aceptarc = 1000 ˉ x = 1 s 2 = 1 n = 10000 [ 0.9 , 1.1 ] [ - 1000 , 1000 ] H 0 : | μ | ≤ $s$$c = 1000$$\bar{x} = 1$$s^2 = 1$$n=10000$$[0.9, \ 1.1]$$[-1000, \ 1000]$$H_0: |\mu| \leq c$ en este caso.

Referencias

Patriota, AG (2013). Una medida clásica de evidencia para hipótesis nulas generales, Fuzzy Sets and Systems, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996). Valores P: qué son y qué no son, The American Statistician, 50, 203–206.