Considere el modelo lineal simple:

$$\pmb{y}=X'\pmb{\beta}+\epsilon$$

donde $\epsilon_i\sim\mathrm{i.i.d.}\;\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ y $X\in\mathbb{R}^{n\times p}$ ,$p\geq2$ y$X$ contiene una columna de constantes.

Mi pregunta es, dado $\mathrm{E}(X'X)$ , $\beta$ y $\sigma$ , ¿hay una fórmula para un límite superior no trivial en $\mathrm{E}(R^2)$ *? (suponiendo que el modelo fue estimado por OLS).

* Supuse, escribiendo esto, que obtener $E(R^2)$ sí mismo no sería posible.

EDITAR1

usando la solución derivada de Stéphane Laurent (ver abajo) podemos obtener un límite superior no trivial en $E(R^2)$ . Algunas simulaciones numéricas (a continuación) muestran que este límite es bastante estricto.

Stéphane Laurent dedujo lo siguiente: $R^2\sim\mathrm{B}(p-1,n-p,\lambda)$ donde $\mathrm{B}(p-1,n-p,\lambda)$ es una distribución Beta no central con parámetro de no centralidad $\lambda$ con

$$\lambda=\frac{||X'\beta-\mathrm{E}(X)'\beta1_n||^2}{\sigma^2}$$

Entonces

$$\mathrm{E}(R^2)=\mathrm{E}\left(\frac{\chi^2_{p-1}(\lambda)}{\chi^2_{p-1}(\lambda)+\chi^2_{n-p}}\right)\geq\frac{\mathrm{E}\left(\chi^2_{p-1}(\lambda)\right)}{\mathrm{E}\left(\chi^2_{p-1}(\lambda)\right)+\mathrm{E}\left(\chi^2_{n-p}\right)}$$

donde es un no central χ 2 con el parámetro λ y k grados de libertad. Entonces, un límite superior no trivial para E ( R 2 ) es$\chi^2_{k}(\lambda)$$\chi^2$$\lambda$$k$$\mathrm{E}(R^2)$

$$\frac{\lambda+p-1}{\lambda+n-1}$$

es muy ajustado (mucho más apretado de lo que esperaba que fuera posible):

por ejemplo, usando:

rho<-0.75
p<-10
n<-25*p
Su<-matrix(rho,p-1,p-1)
diag(Su)<-1
su<-1
set.seed(123)
bet<-runif(p)

la media de sobre 1000 simulaciones es . El límite superior teórico anterior da . El límite parece ser igualmente preciso en muchos valores de $R^2$0.9608190.9609081 . Realmente asombroso!$R^2$

EDIT2:

Después de más investigaciones, parece que la calidad de la aproximación del límite superior a mejorará a medida que aumente λ + p (y todo lo demás igual, λ aumenta con n ).$E(R^2)$$\lambda+p$$\lambda$$n$

Cualquier modelo lineal puede escribirse donde G tiene la distribución normal estándar en R n y se supone que μ pertenece a un subespacio lineal W de R n . En su caso W = Im ( X ) .$\boxed{Y=\mu+\sigma G}$$G$$\mathbb{R}^n$$\mu$$W$$\mathbb{R}^n$$W=\text{Im}(X)$

Sea el subespacio lineal unidimensional generado por el vector ( 1 , 1 , ... , 1 ) . Tomando U = [ 1 ] a continuación, el R 2 está altamente relacionado con el estadístico clásico de Fisher F = ‖ P Z Y ‖ 2 / ( m - ℓ $[1] \subset W$$(1,1,\ldots,1)$$U=[1]$$R^2$ para la prueba de hipótesis deH0:{μ∈U}dondeU⊂Wes un subespacio lineal, y denotando por Z=U⊥∩Wel complemento ortogonal deUenW, y denotandom=dim(W)yℓ=dim(U

$$F = \frac{{\Vert P_Z Y\Vert}^2/(m-\ell)}{{\Vert P_W^\perp Y\Vert}^2/(n-m)},$$ $H_0\colon\{\mu \in U\}$$U\subset W$$Z=U^\perp \cap W$$U$$W$$m=\dim(W)$$\ell=\dim(U)$ (entonces y ℓ = 1 en su situación).$m=p$$\ell=1$

De hecho, porque la definición deR2es R2= ‖ P Z Y ‖

$$\dfrac{{\Vert P_Z Y\Vert}^2}{{\Vert P_W^\perp Y\Vert}^2} = \frac{R^2}{1-R^2}$$ $R^2$ $$R^2 = \frac{{\Vert P_Z Y\Vert}^2}{{\Vert P_U^\perp Y\Vert}^2}=1 - \frac{{\Vert P^\perp_W Y\Vert}^2}{{\Vert P_U^\perp Y\Vert}^2}.$$

Obviously $\boxed{P_Z Y = P_Z \mu + \sigma P_Z G}$ and $\boxed{P_W^\perp Y = \sigma P_W^\perp G}$.

When $H_0\colon\{\mu \in U\}$ is true then $P_Z \mu = 0$ and therefore

$$F = \frac{{\Vert P_Z G\Vert}^2/(m-\ell)}{{\Vert P_W^\perp G\Vert}^2/(n-m)} \sim F_{m-\ell,n-m}$$ has the Fisher $F_{m-\ell,n-m}$ distribution. Consequently, from the classical relation between the Fisher distribution and the Beta distribution, $R^2 \sim {\cal B}(m-\ell, n-m)$.

In the general situation we have to deal with $P_Z Y = P_Z \mu + \sigma P_Z G$ when $P_Z\mu \neq 0$. In this general case one has ${\Vert P_Z Y\Vert}^2 \sim \sigma^2\chi^2_{m-\ell}(\lambda)$, the noncentral $\chi^2$ distribution with $m-\ell$ degrees of freedom and noncentrality parameter $\boxed{\lambda=\frac{{\Vert P_Z \mu\Vert}^2}{\sigma^2}}$, and then $\boxed{F \sim F_{m-\ell,n-m}(\lambda)}$ (noncentral Fisher distribution). This is the classical result used to compute power of $F$-tests.

The classical relation between the Fisher distribution and the Beta distribution hold in the noncentral situation too. Finally $R^2$ has the noncentral beta distribution with "shape parameters" $m-\ell$ and $n-m$ and noncentrality parameter $\lambda$. I think the moments are available in the literature but they possibly are highly complicated.

Finally let us write down $P_Z\mu$. Note that $P_Z = P_W - P_U$. One has $P_U \mu = \bar\mu 1$ when $U=[1]$, and $P_W \mu = \mu$. Hence $P_Z \mu =\mu - \bar\mu 1$ where here $\mu=X\beta$ for the unknown parameters vector $\beta$.