¿Puedo convertir una matriz de covarianza en incertidumbres para las variables?

Tengo una unidad GPS que genera una medición de ruido a través de la matriz de covarianza :$\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(También hay involucrado pero ignoremos eso por un segundo).$t$

Supongamos que quiero decirle a alguien más que la precisión en cada dirección ( ) es un número. . Es decir, mi GPS puede darme una lectura de , etc. Entiendo que en este caso implica que todos los mensurandos son independientes entre sí (es decir, la covarianza matriz es diagonal). Además, encontrar el error vectorial es tan simple como agregar errores en cuadratura (raíz cuadrada de la suma de cuadrados).μ x , μ y , μ z x = ˉ x ± μ x$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$$\mu$

¿Qué sucede si mi matriz de covarianza no es diagonal? ¿Hay un número simple que abarque los efectos de las direcciones y ? ¿Cómo puedo encontrar eso dada una matriz de covarianza? y $\mu_x^*$$y$$z$

No hay un número único que abarque toda la información de covarianza: hay 6 piezas de información, por lo que siempre necesitará 6 números.

Sin embargo, hay varias cosas que podrías considerar hacer.

En primer lugar, el error (varianza) en cualquier dirección particular , viene dado por$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Donde es el vector unitario en la dirección de interés.$\mathbf{e}_i$

Ahora, si observa esto para sus tres coordenadas básicas , puede ver que:$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Entonces, el error en cada una de las direcciones consideradas por separado viene dado por la diagonal de la matriz de covarianza. Esto tiene sentido intuitivamente: si solo estoy considerando una dirección, cambiar solo la correlación no debería hacer ninguna diferencia.

Estás en lo correcto al notar que simplemente declarando:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

No implica ninguna correlación entre esos tres enunciados: cada enunciado por sí solo es perfectamente correcto, pero en conjunto se ha eliminado cierta información (correlación).

Si va a tomar muchas mediciones cada una con la misma correlación de errores (suponiendo que esto provenga del equipo de medición), entonces una elegante posibilidad es rotar sus coordenadas para diagonalizar su matriz de covarianza. Luego puede presentar errores en cada una de esas direcciones por separado, ya que ahora no estarán correlacionados.

En cuanto a tomar el "error de vector" agregando cuadratura, no estoy seguro de entender lo que está diciendo. Estos tres errores son errores en diferentes cantidades: no se cancelan entre sí y, por lo tanto, no veo cómo puede agregarlos. ¿Quieres decir error en la distancia?