¿Cómo encontrar la varianza entre puntos multidimensionales?

Supongamos que tengo una matriz X que es n por p, es decir, tiene n observaciones, con cada observación en el espacio p-dimensional.

¿Cómo encuentro la varianza de estas n observaciones?

En el caso donde p = 1, solo necesito usar la fórmula de varianza regular. ¿Qué pasa con los casos donde p> 1?

Para una variable aleatoria -dimensional , tenemos la siguiente definición de la varianza:$p$$X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

$$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$$

Es decir, la varianza de un vector aleatorio se define como la matriz que almacena todas las varianzas en la diagonal principal y las covarianzas entre los diferentes componentes en los otros elementos. La matriz de covarianza la muestra se calcularía luego conectando los análogos de muestra para las variables de población:$p \times p$

$$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$$ donde denota la ésima observación para la característica y la media muestral de${X_{ij}}$$i$$j$${{\bar X}_{ \cdot j}}$$j$th característica. En resumen, la varianza de un vector aleatorio se define como la matriz que contiene las varianzas y covarianzas individuales. Por lo tanto, es suficiente calcular las varianzas y covarianzas de muestra para todos los componentes del vector individualmente.