Dirichlet posterior

Tengo una pregunta sobre la distribución posterior de Dirichlet. Dada una función de probabilidad multinomial, se sabe que el posterior es , donde es el número de veces que hemos visto observación.$Dir({\alpha_i + N_i})$$N_i$$i^{th}$

¿Qué sucede si comenzamos a disminuir s para un dato fijo ? Parece por la forma de la parte posterior que después de algún punto s dejará de afectar a la parte posterior. Pero, ¿no sería correcto decir que cuando hacemos s muy pequeño, la masa de probabilidad se mueve a las esquinas del símplex y la parte posterior debe verse afectada en mayor medida? ¿Qué enunciado es el correcto?$\alpha$$D$$\alpha$$\alpha$

Para mí, la forma más útil de visualizar el efecto de los parámetros para Dirichlet es la urna de Polya. Imagine que tiene una urna que contiene n colores diferentes, con de cada color en la urna (tenga en cuenta que puede tener fracciones de una bola). Alcanzas y dibujas una bola, luego la reemplazas junto con otra del mismo color. Luego repite esto una cantidad infinita de veces y la proporción final constituye una muestra de la distribución de Dirichlet. Si tiene valores muy pequeños para , debe quedar claro que la bola agregada lo pesará mucho hacia el color de ese primer sorteo, lo que explica por qué la masa se mueve a las esquinas del símplex. Si tiene grandes , entonces ese primer sorteo no afecta tanto a la proporción final.$\alpha_i$$\alpha$$\alpha's$

Lo que su posterior dice esencialmente es que comenzó con bolas de color , hizo un montón de dibujos y resultó que dibujó ese color veces. Luego puede imaginar que las muestras de la parte posterior se generen con el mismo proceso e imaginar los efectos que la inicial junto con los recuentos de tendrán en esas muestras. Claramente, un valor pequeño para tendrá menos efecto en la parte posterior.$\alpha_i$$i$$N_i$$\alpha$$N$$\alpha$

Otra forma de pensarlo es que los parámetros de su Dirichlet controlan cuánto confía en sus datos. Si tiene valores pequeños de , entonces confía en sus datos casi por completo. Por el contrario, si tiene valores grandes para , entonces confía menos en sus datos y suavizará un poco más la parte posterior.$\alpha$$\alpha$

En resumen, tiene razón al decir que a medida que disminuye los , tendrán menos efecto en la parte posterior, pero al mismo tiempo la anterior tendrá la mayor parte de su masa en las esquinas del símplex.$\alpha's$