Densidad de Y = log (X) para X distribuido en gamma

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Supongamos que tengo una variable aleatoria , y defino Y = \ log (X) . Me gustaría encontrar la función de densidad de probabilidad de Y .$X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$$Y = \log(X)$$Y$

Originalmente pensé que solo definiría la función de distribución acumulativa X, haría un cambio de variable y tomaría el "interior" de la integral como mi densidad, así,

$$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$$

Aquí uso $y = \log x$ y $dy = \frac{1}{x} dx$ , luego sub en las definiciones de $x$ y $dx$ en términos de $y$ .

La salida, desafortunadamente, no se integra a 1. No estoy seguro de dónde está mi error. ¿Podría alguien decirme dónde está mi error?

Escriba las densidades con los indicadores para tener una imagen clara.

Si $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ , entonces

$$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$$

Si , con , entonces y el CDF se obtiene de la definición $Y=g(X)=\log X$$X=h(Y)=e^Y$P ( Y ≤ y ) = ∫ y - ∞ f Y ( y ) d

$$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$$ $$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$$