¿El centrado medio reduce la covarianza?

Suponiendo que tengo dos variables aleatorias no independientes y quiero reducir la covarianza entre ellas tanto como sea posible sin perder demasiada "señal", ¿significa centrar la ayuda? Leí en alguna parte que el centrado medio reduce la correlación en un factor significativo, por lo que creo que debería hacer lo mismo para la covarianza.

Si $X$ e $Y$ son variables aleatorias y $a$ y $b$ son constantes, entonces

$$\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X + a, Y + b) &= E[(X + a - E[X + a])(Y + b - E[Y + b])] \\ &= E[(X + a - E[X] - E[a])(Y + b - E[Y] - E[b])] \\ &= E[(X + a - E[X] - a)(Y + b - E[Y] - b)] \\ &= E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \\ &= \operatorname{Cov}(X, Y). \end{aligned}$$ Centrado está el caso especial$a = -E[X]$y$b = -E[Y]$, por lo que el centrado no afecta a la covarianza.

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Además, dado que la correlación se define como

$$\operatorname{Corr}(X, Y) = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}},$$ podemos ver que $$\begin{aligned} \operatorname{Corr}(X + a, Y + b) &= \frac{\operatorname{Cov}(X + a, Y + b)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X + a) \operatorname{Var}(Y + b)}} \\ &= \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y)}}, \end{aligned}$$ por lo que,en particular, la correlación tampoco se ve afectada por el centrado.

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Esa fue la versión de la población de la historia. La versión de muestra es la misma: si usamos

$$\widehat{\operatorname{Cov}}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)\left(Y_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j\right)$$ como nuestra estimación de covarianza entre$X$e$Y$partir de una muestra emparejada$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$, entonces $$\begin{aligned} \widehat{\operatorname{Cov}}(X + a, Y + b) &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i + a - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j + a)\right)\left(Y_i + b - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (Y_j + b)\right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i + a - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j - \frac{n}{n} a\right)\left(Y_i + b - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j - \frac{n}{n} b\right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)\left(Y_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Y_j\right) \\ &= \widehat{\operatorname{Cov}}(X, Y) \end{aligned}$$ para cualquier$a$y$b$.

$X$$Y$$E[(X-E[X])(Y-E[Y])]$$X-E[X]$$X$$X$cuando tomamos la covarianza, y el centrado es un operador idempotente; una vez que una variable está centrada, aplicar el proceso de centrado más veces no la cambia. Si la fórmula no tomara las versiones centradas de las variables, entonces habría todo tipo de efectos extraños, como que la covarianza entre la temperatura y otra variable sea diferente dependiendo de si medimos la temperatura en grados Celsius o Kelvin.

"en algún lugar" tiende a ser una fuente poco confiable ...

La covarianza / correlación se define con un centrado explícito . Si no centra los datos, entonces no está calculando covarianza / correlación. (Precisamente: correlación de Pearson)

La principal diferencia es si usted se centra en un modelo teórico (por ejemplo, se supone que el valor esperado es exactamente 0) o en los datos (media aritmética). Es fácil ver que la media aritmética producirá una covarianza más pequeña que cualquier centro diferente.

Sin embargo, una covarianza menor no implica una correlación menor, o lo contrario. Supongamos que tenemos datos X = (1,2) e Y = (2,1). Es fácil ver que con el centro aritmético de la media esto producirá una correlación perfectamente negativa, mientras que si sabemos que el proceso de generación produce 0 en promedio, los datos están realmente correlacionados positivamente. Entonces, en este ejemplo, estamos centrando, pero con el valor teórico esperado de 0.

Esto puede surgir fácilmente. Considere que tenemos una matriz de sensores, 11x11, con las celdas numeradas de -5 a +5. En lugar de tomar la media aritmética, tiene sentido usar la media "física" de nuestra matriz de sensores aquí cuando buscamos la correlación de los eventos del sensor (si enumeramos las celdas 0 a 10, usaríamos 5 como media fija, y obtendríamos los mismos resultados exactos, de modo que la opción de indexación desaparezca del análisis, bueno).