El problema de Monty Hall: ¿dónde nos falla nuestra intuición?

De Wikipedia:

Supongamos que está en un programa de juegos y le dan la opción de tres puertas: detrás de una puerta hay un automóvil; detrás de los demás, cabras. Usted elige una puerta, dice el número 1, y el anfitrión, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra puerta, dice el número 3, que tiene una cabra. Luego te dice: "¿Quieres elegir la puerta número 2?" ¿Le conviene cambiar su elección?

La respuesta es, por supuesto, sí, pero es increíblemente no inituitiva. ¿Qué malentendido tiene la mayoría de la gente sobre la probabilidad que nos lleva a rascarnos la cabeza, o mejor dicho? ¿Qué regla general podemos sacar de este rompecabezas para entrenar mejor nuestra intuición en el futuro?

Considere dos variaciones simples del problema:

1. No se abren puertas para el concursante. El anfitrión no ofrece ayuda para elegir una puerta. En este caso, es obvio que las probabilidades de elegir la puerta correcta son 1/3.
2. Antes de que se le pida al concursante aventurar una suposición, el anfitrión abre una puerta y revela una cabra. Después de que el anfitrión revela una cabra, el concursante tiene que recoger el automóvil de las dos puertas restantes. En este caso, es obvio que las probabilidades de elegir la puerta correcta son 1/2.

Para que un concursante sepa la probabilidad de que su elección de puerta sea correcta, debe saber cuántos resultados positivos tiene disponibles y dividir ese número por la cantidad de posibles resultados. Debido a los dos casos simples descritos anteriormente, es muy natural pensar en todos los posibles resultados disponibles como la cantidad de puertas para elegir, y la cantidad de resultados positivos como la cantidad de puertas que ocultan un automóvil. Dada esta suposición intuitiva, incluso si el anfitrión abre una puerta para revelar una cabra después de que el concursante adivine, la probabilidad de que cualquiera de las puertas contenga un automóvil sigue siendo 1/2.

En realidad, la probabilidad reconoce un conjunto de resultados posibles mayores que las tres puertas y reconoce un conjunto de resultados positivos que es mayor que la puerta singular con el automóvil. En el análisis correcto del problema, el anfitrión proporciona al concursante nueva información y hace una nueva pregunta que debe abordarse: ¿cuál es la probabilidad de que mi conjetura original sea tal que la nueva información proporcionada por el anfitrión sea suficiente para informarme de la correcta? ¿puerta? Al responder a esta pregunta, el conjunto de resultados positivos y el conjunto de resultados posibles no son puertas y automóviles tangibles, sino arreglos abstractos de las cabras y el automóvil. Los tres resultados posibles son los tres arreglos posibles de dos cabras y un automóvil detrás de tres puertas. Los dos resultados positivos son los dos posibles arreglos donde la primera suposición del concursante es falsa. En cada uno de estos dos arreglos, la información proporcionada por el anfitrión (una de las dos puertas restantes está vacía) es suficiente para que el concursante determine la puerta que oculta el automóvil.

En resumen:

Tenemos una tendencia a buscar un mapeo simple entre las manifestaciones físicas de nuestras elecciones (las puertas y los automóviles) y el número de posibles resultados y resultados deseados en una cuestión de probabilidad. Esto funciona bien en casos donde no se proporciona información nueva al concursante. Sin embargo, si el concursante recibe más información (es decir, una de las puertas que no eligió ciertamente no es un automóvil), este mapeo se descompone y la pregunta correcta que se hace es más abstracta.

Creo que la gente encuentra la solución más intuitiva si la cambia a 100 puertas, cierra primero, segundo, a 98 puertas. Del mismo modo para 50 puertas, etc.

Para responder a la pregunta original : Nuestra intuición falla debido a la narrativa. Al relatar la historia en el mismo orden que el guión de televisión, nos confundimos. Se hace mucho más fácil si pensamos en lo que va a suceder de antemano. El maestro de pruebas revelará una cabra, por lo que nuestra mejor oportunidad es seleccionar una puerta con una cabra y luego cambiar. La historia pone mucho énfasis en la pérdida causada por nuestra acción en una de cada tres posibilidades de que seleccionemos el automóvil.

La respuesta original:

Nuestro objetivo es eliminar ambas cabras. Hacemos esto marcando una cabra nosotros mismos. El quizmaster se ve obligado a elegir entre revelar el auto o la otra cabra. Revelar el auto está fuera de discusión, por lo que el maestro de pruebas revelará y eliminará a la cabra que no conocíamos. Luego cambiamos a la puerta restante, eliminando así la cabra que marcamos con nuestra primera opción, y tomamos el automóvil.

Esta estrategia solo falla si no marcamos una cabra, sino el auto. Pero eso es poco probable: hay dos cabras y un solo automóvil.

Entonces tenemos una posibilidad de 2 en 3 de ganar el auto.

La respuesta no es "¡por supuesto que sí!" La respuesta correcta es: "No sé, ¿puedes ser más específico?"

La única razón por la que piensas que es correcta es porque Marliyn vos Savant lo dijo. Su respuesta original a la pregunta (aunque la pregunta era ampliamente conocida antes que ella) apareció en la revista Parade el 9 de septiembre de 1990 . ella escribió que la respuesta "correcta" a esta pregunta era cambiar puertas, porque cambiar puertas le daba una mayor probabilidad de ganar el auto (2/3 en lugar de 1/3). Recibió muchas respuestas de doctores en matemáticas y otras personas inteligentes que dijeron que estaba equivocada (aunque muchas de ellas también eran incorrectas).

Supongamos que estás en un programa de juegos y tienes la opción de elegir entre tres puertas. Detrás de una puerta hay un automóvil, detrás de las otras, cabras. Elige una puerta, dice # 1, y el anfitrión, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra puerta, dice # 3 , que tiene una cabra. Él te dice: "¿Quieres elegir la puerta # 2?" ¿Le conviene cambiar las puertas que elija? - Craig F. Whitaker Columbia, Maryland

He en negrita la parte importante de esta pregunta lógica. Lo que es ambiguo en esa declaración es:

¿Monty Hall siempre abre una puerta? (¿Cuál sería su ventaja para cambiar puertas si él solo abriera una puerta perdedora cuando usted escogió una puerta ganadora? Respuesta : No)

¿Monty Hall siempre abre una puerta perdida ? (La pregunta especifica que él sabe dónde está el auto, y esta vez en particular mostró una cabra detrás de uno. ¿Cuáles serían sus posibilidades si abriera una puerta al azar? .)

¿Monty Hall siempre abre una puerta que no elegiste?

Los fundamentos de este rompecabezas lógico se han repetido más de una vez, y muchas veces no se han especificado lo suficientemente bien como para dar la respuesta "correcta" de 2/3.

Un comerciante dice que tiene dos nuevos beagles para mostrarle, pero no sabe si son hombres, mujeres o un par. Le dices que solo quieres un hombre, y ella llama por teléfono al tipo que los está bañando. "¿Al menos uno es un hombre?" ella le pregunta. "¡Sí!" ella te informa con una sonrisa. ¿Cuál es la probabilidad de que el otro sea hombre? - Stephen I. Geller, Pasadena, California

¿El tipo miró a ambos perros antes de responder "Sí", o recogió un perro al azar y descubrió que era un macho y luego respondió "Sí"?

Digamos que una mujer y un hombre (que no están relacionados) tienen dos hijos. Sabemos que al menos uno de los hijos de la mujer es un niño y que el hijo mayor del hombre es un niño. ¿Puede explicar por qué las posibilidades de que la mujer tenga dos hijos no son iguales a las posibilidades de que el hombre tenga dos hijos? Mi maestro de álgebra insiste en que la probabilidad de que el hombre tenga dos hijos es mayor, pero creo que las posibilidades pueden ser las mismas. ¿Qué piensas?

¿Cómo sabemos que las mujeres tienen al menos un niño? ¿Miramos por encima de la cerca un día y vimos uno de ellos? ( Respuesta: 50%, igual que el hombre )

La pregunta incluso ha tropezado con nuestro propio Jeff Atwood . Él planteó esta pregunta :

Digamos, hipotéticamente hablando, conociste a alguien que te dijo que tenían dos hijos, y uno de ellos es una niña. ¿Cuáles son las probabilidades de que esa persona tenga un niño y una niña?

Jeff continúa argumentando que era una pregunta simple, formulada en un lenguaje simple y deja de lado las objeciones de algunos que dicen que la pregunta está redactada incorrectamente si desea que la respuesta sea 2/3.

Sin embargo, lo más importante es por qué la mujer ofreció voluntariamente la información. Si ella hablaba como las personas normales , cuando alguien dice "una de ellas es una niña", inevitablemente la otra es un niño. Si asumimos que esta es una pregunta lógica, con la intención de hacernos tropezar, debemos pedir que la pregunta esté más claramente definida. ¿La mujer ofreció voluntariamente el sexo de uno de sus hijos, seleccionados al azar, o está hablando sobre el conjunto de sus dos hijos?

Está claro que la pregunta está mal redactada, pero la gente no se da cuenta. Cuando se hacen preguntas similares, donde las probabilidades son mucho mayores para cambiar, las personas se dan cuenta de que debe ser un truco (y cuestionan el motivo del anfitrión) u obtienen la respuesta "correcta" de cambiar como en la pregunta de las cien puertas . Esto se ve respaldado por el hecho de que los médicos cuando se les pregunta acerca de la probabilidad de que una mujer tenga una enfermedad en particular después de dar positivo (necesitan determinar si tiene la enfermedad, o si es un falso positivo), son mejores para llegar al respuesta correcta, dependiendo de cómo se formule la pregunta. Hay una charla TED maravillosa que a mitad de camino cubre este mismo caso.

Describió las probabilidades asociadas con una prueba de cáncer de seno: el 1% de las mujeres evaluadas tienen la enfermedad, y la prueba es 90 por ciento precisa, con una tasa de falsos positivos del 9%. Con toda esa información, ¿qué le dice a una mujer que da positivo sobre la probabilidad de que tenga la enfermedad?

Si ayuda, aquí está la misma pregunta formulada de otra manera:

100 de cada 10,000 mujeres a los cuarenta años que participan en exámenes de detección de rutina tienen cáncer de seno. 90 de cada 100 mujeres con cáncer de seno recibirán una mamografía positiva. 891 de cada 9,900 mujeres sin cáncer de seno también recibirán una mamografía positiva. Si 10,000 mujeres en este grupo de edad se someten a un examen de rutina, ¿aproximadamente qué porcentaje de mujeres con mamografías positivas realmente tendrán cáncer de seno?

Modificaría un poco lo que dijo Graham Cookson. Creo que lo realmente crucial que la gente pasa por alto no es su primera opción, sino la elección del anfitrión y la suposición de que el anfitrión se aseguró de no revelar el automóvil.

De hecho, cuando discuto este problema en una clase, lo presento en parte como un estudio de caso para aclarar sus suposiciones. Es ventajoso cambiar si el anfitrión se asegura de revelar una cabra . Por otro lado, si el anfitrión escogió al azar entre las puertas 2 y 3 y descubrió una cabra, entonces no hay ninguna ventaja en cambiar.

(Por supuesto, el resultado práctico es que si no conoce la estrategia del host, debe cambiar de todos modos).

Esto no da una regla general, pero creo que una de las razones por las que es un rompecabezas desafiante es que nuestra intuición no maneja muy bien la probabilidad condicional. Hay muchos otros acertijos de probabilidad que juegan en el mismo fenómeno . Como estoy enlazando a mi blog, aquí hay una publicación específicamente en Monty Hall .

Estoy de acuerdo en que los estudiantes encuentran este problema muy difícil. La respuesta típica que obtengo es que después de que le hayan mostrado una cabra, hay una probabilidad de 50:50 de obtener el automóvil, ¿por qué es importante? Los estudiantes parecen divorciarse de su primera elección de la decisión que ahora se les pide, es decir, ven estas dos acciones como independientes. Luego les recuerdo que tenían el doble de probabilidades de haber elegido la puerta equivocada inicialmente, por lo tanto, es mejor que cambien.

En los últimos años, he empezado a jugar el juego en cristal y ayuda a los estudiantes a comprender el problema mucho mejor. Uso tres "rollos" de papel higiénico de cartón y en dos de ellos hay clips de papel y en el tercero hay una nota de £ 5.

Creo que es más una cuestión de lógica que una dificultad con la probabilidad lo que hace que la solución de Monty Hall sea sorprendente. Considere la siguiente descripción del problema.

Usted decide en casa, antes de ir al programa de televisión, si va a cambiar de puerta o quedarse con su primera opción, pase lo que pase durante el programa. Es decir, eliges entre las estrategias "Permanecer" o "Cambiar" antes de jugar. No hay incertidumbre involucrada en esta elección de estrategia. No hay necesidad de introducir probabilidades todavía.

Comprendamos las diferencias entre las dos estrategias. Nuevamente, no hablaremos de probabilidades.

Bajo la estrategia "Stay", usted gana si y solo si su primera opción es la puerta "buena". Por otro lado, bajo la estrategia "Switch", ganas si y solo si tu primera opción es una puerta "mala". Por favor, piense detenidamente en estos dos casos por un minuto, especialmente el segundo. Nuevamente, note que aún no hablamos de probabilidades. Es solo una cuestión de lógica.

$1/3$$1/3$$2/3$

PD: En 1990, el Prof. Larry Denenberg envió una carta al presentador de programas de televisión Monty Hall pidiéndole permiso para usar en un libro su nombre en la descripción del conocido problema de las tres puertas.

Aquí hay una imagen de parte de la respuesta de Monty a esa carta, donde podemos leer:

"Tal como lo veo, no habría ninguna diferencia después de que el jugador haya seleccionado la Puerta A, y que se le haya mostrado la Puerta C, ¿por qué debería intentar cambiar a la Puerta B?"

¡Por lo tanto, podemos concluir con seguridad que Monty Hall (el hombre mismo) no entendió el problema de Monty Hall!

No es necesario saber acerca de la probabilidad condicional o el Teorema de Bayes para darse cuenta de que es mejor cambiar su respuesta.

Suponga que inicialmente elige la Puerta 1. Luego, la probabilidad de que la Puerta 1 sea ganadora es 1/3 y la probabilidad de que las Puertas 2 o 3 sean ganadoras es 2/3. Si se demuestra que la Puerta 2 es una perdedora por elección del anfitrión, entonces la probabilidad de que 2 o 3 sea un ganador sigue siendo 2/3. Pero como la Puerta 2 es una perdedora, la Puerta 3 debe tener una probabilidad de 2/3 de ser un ganador.

¿La leccion? Reformule la pregunta y busque una estrategia en lugar de mirar la situación. Gira la cosa sobre su cabeza, trabaja hacia atrás ...

Las personas generalmente son malas para trabajar con el azar. A los animales generalmente les va mejor, una vez que descubren que A o B dan un pago más alto en promedio ; se apegan a la elección con el mejor promedio. (no tengo una referencia lista, lo siento)

Lo primero que la gente siente la tentación de hacer cuando ve una distribución 80/20 es distribuir sus opciones para que coincidan con el pago: 80% en la mejor opción y 20% en el otro. Esto dará como resultado un pago del 68%.

Una vez más, hay un escenario válido para que las personas elijan una estrategia de este tipo: si las probabilidades cambian con el tiempo, hay una buena razón para enviar una investigación y probar la opción con la menor probabilidad de éxito.

Una parte importante de las estadísticas matemáticas en realidad estudia el comportamiento de los procesos para determinar si son aleatorios o no.

Creo que están sucediendo varias cosas.

Por un lado, la configuración implica más información que la solución tiene en cuenta. Es un programa de juegos y el anfitrión nos pregunta si queremos cambiar.

Si asumes que el presentador no quiere que el programa gaste dinero extra (lo cual es razonable), entonces asumirías que trataría de convencerte de cambiar si tuvieras la puerta correcta.

Esta es una forma de sentido común de ver el problema que puede confundir a las personas, sin embargo, creo que el problema principal no es entender cómo la nueva opción es diferente a la primera (que es más clara en el caso de las 100 puertas).

Citaré este gran artículo sobre lesswrong:

Las hipótesis posibles son Car en la puerta 1, Car en la puerta 2 y Car en la puerta 3; antes de que comience el juego, no hay razón para creer que cualquiera de las tres puertas sea más probable que las otras para contener el automóvil, por lo que cada una de estas hipótesis tiene una probabilidad previa de 1/3.

El juego comienza con nuestra selección de una puerta. Eso en sí mismo no es evidencia sobre dónde está el automóvil, por supuesto, estamos asumiendo que no tenemos información particular sobre eso, aparte de que está detrás de una de las puertas (¡ese es el objetivo del juego!). Sin embargo, una vez que hayamos hecho eso, tendremos la oportunidad de "ejecutar una prueba" para obtener algunos "datos experimentales": el anfitrión realizará su tarea de abrir una puerta que seguramente contiene una cabra. Representaremos el resultado Host abre la puerta 1 por un triángulo, el resultado Host abre la puerta 2 por un cuadrado y el resultado Host abre la puerta 3 por un pentágono, dividiendo así el espacio de nuestra hipótesis más finamente en posibilidades como "Coche en la puerta 1 y el host abre la puerta 2 "," Auto en la puerta 1 y el host abre la puerta 3 ", etc.

Antes de hacer nuestra selección inicial de una puerta, es probable que el anfitrión abra cualquiera de las puertas que contienen cabras. Por lo tanto, al comienzo del juego, la probabilidad de cada hipótesis de la forma "Coche en la puerta X y el anfitrión abre la puerta Y" tiene una probabilidad de 1/6, como se muestra. Hasta aquí todo bien; Todo sigue siendo perfectamente correcto.

Ahora seleccionamos una puerta; digamos que elegimos la Puerta 2. El anfitrión abre la Puerta 1 o la Puerta 3, para revelar una cabra. Supongamos que abre la puerta 1; nuestro diagrama ahora se ve así:

¡Pero esto muestra probabilidades iguales de que el automóvil esté detrás de la Puerta 2 y la Puerta 3!

¿Captó el error?

Ahí tienes, así es como tu intuición te falla.

Vea la solución correcta en el artículo completo . Incluye :

• Explicación del teorema de Bayes
• Enfoque equivocado de Monty Hall
• Enfoque correcto de Monty Hall
• Mas problemas...

En mi experiencia, es el hecho de que las personas no saltan automáticamente de las palabras a las matemáticas. Normalmente, cuando lo presento por primera vez, la gente se equivoca. Sin embargo, saco una baraja de 52 cartas y les pido que elijan una. Luego les muestro cincuenta cartas y les pregunto si quieren cambiar. La mayoría de la gente lo entiende. Intuitivamente saben que probablemente recibieron la tarjeta equivocada cuando hay 52 de ellos y cuando ven a cincuenta de ellos entregados, la decisión es bastante simple. No creo que sea tanto una paradoja como una tendencia a apagar la mente en problemas matemáticos.