Para una variable aleatoria dada (o una población, o un proceso estocástico), la expectativa matemática es la respuesta a una pregunta ¿Qué pronóstico puntual minimiza la pérdida cuadrada esperada? . Además, es la solución óptima para un juego Adivina la próxima realización de una variable aleatoria (o un nuevo sorteo de una población), y te castigaré por la distancia al cuadrado entre el valor y tu suposición si tienes una desutilidad lineal en términos del castigo La mediana es la respuesta a una pregunta correspondiente bajo pérdida absoluta y el modo es la respuesta bajo pérdida "todo o nada".
Preguntas: ¿La varianza y la desviación estándar responden preguntas similares? ¿Qué son?
La motivación para esta pregunta proviene de la enseñanza de medidas básicas de tendencia central y propagación. Mientras que las medidas de tendencia central pueden estar motivadas por los problemas teóricos de decisión anteriores, me pregunto cómo se podrían motivar las medidas de propagación.
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Respuestas:
Si he entendido la pregunta según lo previsto, tiene en mente una configuración en la que puede obtener realizaciones independientes de cualquier variable aleatoriaX con cualquier distribución F (que tiene una varianza finita σ2( F) ). El "juego" está determinado por las funciones h y L que se describirán. Consiste en los siguientes pasos y reglas:
Su oponente ( "Naturaleza") revelaF.
En respuesta, produce un númerot ( F) , su "predicción".
Para evaluar el resultado del juego, se realizan los siguientes cálculos:
Una muestra denorte IID observaciones X = X1, X2, ... , Xnorte se extrae de F.
Se aplica una función predeterminadah a la muestra, produciendo un número h ( X ) , el "estadístico".
La "función de pérdida"L compara su "predicción" t ( F) con la estadística h ( X ) , produciendo un número no negativo L (t(F) , h ( X ) ) .
El resultado del juego es la pérdida esperada (o "riesgo")R( L , h )( t , F) = E( L ( t ( F) , h ( X ) ) ) .
Su objetivo es responder al movimiento de la Naturaleza especificando algunast que minimicen el riesgo.
Por ejemplo, en el juego con la funciónh ( X1) = X1 y cualquier pérdida de la forma L (t,h)=λ(t-h )2 para algún número positivo λ , su movimiento óptimo es elegir t ( F) para ser la expectativa de F.
La pregunta que tenemos ante nosotros es:
Esto se responde fácilmente exhibiendo la varianza como una expectativa. Una forma es estipular queh ( X1, X2) = 12( X1- X2)2 y continúe usando la pérdida cuadráticaL (t,h)=(t-h )2. Al observar eso
El ejemplo nos permite concluir que esteh y este L responden la pregunta sobre la varianza.
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