Estoy tratando de escribir una función que genere ruido distribuido uniformemente que proviene de una bola de la norma p de dimensiones:$n$

Encontré posibles soluciones para los círculos ( ) ( http://mathworld.wolfram.com/DiskPointPicking.html ), sin embargo, tengo problemas para extender esto para diferentes valores de .$p = 2$$p$

He intentado hacerlo simplemente extrayendo una muestra aleatoria de una distribución uniforme y redibujándola cuando no cumple con la restricción dada. Sin embargo, además de ser una solución fea, también se vuelve computacionalmente inviable para grandes dimensiones.

Encontré la solución completa en un documento según lo sugerido por kjetil b halvorsen ( https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=758215 ). Sinceramente, tengo problemas para comprender las matemáticas detrás de esto, pero el algoritmo eventual es bastante simple. si tenemos dimensiones, un radio r y la norma p que:$n$$r$$p$

1) generan escalares reales aleatorias independientes varepsilon i = ˉ G ( 1 / p , p ) , donde ˉ G ( μ , σ 2 ) es la distribución generalizada de Gauss (con una potencia diferente en el exponente e - | x | p en vez de solo p = 2 )$n$$\varepsilon_i = \bar{G}(1/p, p)$$\bar{G}(\mu, \sigma^2)$$e^{−|x|^p}$$p=2$

2) construya el vector de los componentes s i ∗ ε i , donde s i son signos aleatorios independientes$x$$s_i * \varepsilon_i$$s_i$

3) Genere , donde w es una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [0, 1].$z = w^{1/n}$$w$

4) devuelve $y = r z \frac{x}{||x||_p}$

Utilizando variables multivariadas distribuidas homogéneamente

Taeke proporciona un enlace a un artículo que el texto a continuación hace más intuitivo al explicar específicamente los casos de 2 y 1 norma.

2-norma $\Vert x \Vert_2 \leq r$

dirección de muestra

Puede usar este resultado http://mathworld.wolfram.com/HyperspherePointPicking.html

Una variable distribuida gaussiana multivariada (con matriz de covarianza de identidad) depende solo de la distancia o suma de cuadrados.$X$

Así se distribuye uniformemente en la superficie de la hiperesfera n-dimensional.$\frac{X}{\Vert X \Vert_2}$

distancia de muestra

Para completar solo necesita muestrear la distancia, para cambiar la distribución homogénea en la esfera a una distribución homogénea en una bola. (que es más o menos similar a su ejemplo vinculado para la selección de puntos de disco)

Si simplemente muestreara como una distribución uniforme, entonces tendría una densidad relativamente mayor cerca del centro (el volumen se escala como r n, por lo que una fracción r de los puntos terminaría en un volumen r n , que es más denso cerca del centro y no significaría una distribución uniforme)$r$$r^n$$r$$r^n$

Si, por el contrario, utiliza la raíz -ésima de una variable muestreada a partir de una distribución uniforme, obtendrá una distribución uniforme.$n$

$\Vert x \Vert_1 \leq r$

dirección

$X$$\frac{X}{\vert X \vert_1}$

No tengo pruebas formales, solo intuición

^{$f(x) dV$$f(x) dA$}

pero las pruebas con simulaciones se ven bien.

library(rmutil)
x <- abs(rlaplace(20000))
y <- abs(rlaplace(20000))
z <- abs(rlaplace(20000))
rn <- abs(x)+abs(y)+abs(z)

xi <- (x/rn)
yi <- (y/rn)
zi <- (z/rn)
plot(sqrt(0.5)*(xi-yi),
     sqrt((0.5-0.5*(xi+yi))^2+zi^2),
     pc=21,bg=rgb(0,0,0,0.02), col=rgb(0,0,0,0),cex=1)

distancia

$r^n$

$\Vert x \Vert_p \leq r$

$f(x) \propto e^{\vert x \vert^p}$$G()$