Pensando en usar redes neuronales recurrentes para el pronóstico de series de tiempo. Básicamente implementan una especie de regresión automática no lineal generalizada, en comparación con los modelos ARMA y ARIMA que utilizan la regresión automática lineal.

Si estamos realizando una regresión automática no lineal, ¿sigue siendo necesario que las series temporales sean estacionarias? ¿Necesitaríamos realizar la diferenciación de la forma en que lo hacemos en los modelos ARIMA?

¿O el carácter no lineal del modelo le da la capacidad de manejar series de tiempo no estacionarias?

Para plantear la pregunta de otra manera: ¿El requisito de estacionariedad (en la media y la varianza) para los modelos ARMA y ARIMA se debe al hecho de que estos modelos son lineales o se debe a algo más?

Si el propósito de su modelo es la predicción y el pronóstico, entonces la respuesta corta es SÍ, pero la estacionariedad no necesita estar en niveles.

Lo explicaré. Si reduce la predicción a su forma más básica, será la extracción de la invariante. Considere esto: no puede pronosticar lo que está cambiando. Si te digo que mañana va a ser diferente que hoy en todos los aspectos imaginables , no podrás producir ningún tipo de pronóstico .

Solo cuando puede extender algo de hoy a mañana, puede producir cualquier tipo de predicción. Te daré algunos ejemplos.

• $\hat x_{t+1}= x_t$
• $v=60$$x_t\sim v t$
• Tu vecino está borracho todos los viernes. ¿Va a estar borracho el próximo viernes? Sí, siempre y cuando no cambie su comportamiento.
• y así

En cada caso de un pronóstico razonable, primero extraemos algo que es constante del proceso y lo extendemos al futuro. Por lo tanto, mi respuesta: sí, las series de tiempo deben ser estacionarias si la varianza y la media son las invariantes que se extenderán hacia el futuro desde la historia. Además, desea que las relaciones con los regresores sean estables también.

Simplemente identifique lo que es invariante en su modelo, ya sea un nivel medio, una tasa de cambio u otra cosa. Estas cosas deben permanecer igual en el futuro si desea que su modelo tenga algún poder de pronóstico.

Holt Winters Ejemplo

El filtro Holt Winters fue mencionado en los comentarios. Es una opción popular para suavizar y pronosticar ciertos tipos de series estacionales, y puede tratar series no estacionarias. En particular, puede manejar series donde el nivel medio crece linealmente con el tiempo. En otras palabras, donde la pendiente es estable . En mi terminología, la pendiente es una de las invariantes que este enfoque extrae de la serie. Veamos cómo falla cuando la pendiente es inestable.

En este gráfico estoy mostrando las series deterministas con crecimiento exponencial y estacionalidad aditiva. En otras palabras, la pendiente se vuelve más empinada con el tiempo:

Puede ver cómo el filtro parece ajustarse muy bien a los datos. La línea ajustada es roja. Sin embargo, si intenta predecir con este filtro, falla miserablemente. La línea verdadera es negra, y el rojo si está equipado con límites de confianza azules en el siguiente diagrama:

La razón por la que falla es fácil de ver al examinar las ecuaciones del modelo de Holt Winters . Extrae la pendiente del pasado y se extiende al futuro. Esto funciona muy bien cuando la pendiente es estable, pero cuando crece constantemente, el filtro no puede seguir el ritmo, está un paso atrás y el efecto se acumula en un error de pronóstico creciente.

Código R:

t=1:150
a = 0.04
x=ts(exp(a*t)+sin(t/5)*sin(t/2),deltat = 1/12,start=0)

xt = window(x,0,99/12)
plot(xt)
(m <- HoltWinters(xt))
plot(m)
plot(fitted(m))

xp = window(x,8.33)
p <- predict(m, 50, prediction.interval = TRUE)
plot(m, p)
lines(xp,col="black")

En este ejemplo, puede mejorar el rendimiento del filtro simplemente tomando un registro de series. Cuando tomas un logaritmo de series que crecen exponencialmente, vuelves estable su pendiente y le das una oportunidad a este filtro. Aquí hay un ejemplo:

Código R:

t=1:150
a = 0.1
x=ts(exp(a*t)+sin(t/5)*sin(t/2),deltat = 1/12,start=0)

xt = window(log(x),0,99/12)
plot(xt)
(m <- HoltWinters(xt))
plot(m)
plot(fitted(m))

p <- predict(m, 50, prediction.interval = TRUE)
plot(m, exp(p))

xp = window(x,8.33)
lines(xp,col="black")

También estaría de acuerdo con @Aksakal, que si el objetivo principal es predecir, entonces las características cardinales de una serie estacionaria deben mantenerse.