Estoy tratando de modelar y pronosticar una serie de tiempo que es cíclica en lugar de estacional (es decir, hay patrones estacionales, pero no con un período fijo). Esto debería ser posible utilizando un modelo ARIMA, como se menciona en la Sección 8.5 de Pronósticos: principios y práctica :

El valor de es importante si los datos muestran ciclos. Para obtener pronósticos cíclicos, es necesario tener junto con algunas condiciones adicionales en los parámetros. Para un modelo AR (2), el comportamiento cíclico ocurre si .$p$$p\geq 2$$\phi^2_1+4\phi_2<0$

¿Cuáles son estas condiciones adicionales en los parámetros en el caso general de ARIMA (p, d, q)? No he podido encontrarlos en ningún lado.

Alguna intuición gráfica

En los modelos AR , el comportamiento cíclico proviene de raíces conjugadas complejas al polinomio característico. Para dar primero la intuición, he trazado las funciones de respuesta al impulso a continuación a dos ejemplos de modelos AR (2).

1. Un proceso persistente con raíces complejas.
2. Un proceso persistente con raíces reales.

Para , las raíces del polinomio característico son donde son valores propios de la matriz que defino a continuación. Con un complejo de valores propios conjugados y , la controla la amortiguación (donde ) y controla la frecuencia de la onda cosenoidal.$j=1\,\ldots, p$$\frac{1}{\lambda_j}$$\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$A$$\lambda = r e^{i \omega t}$$\bar{\lambda}= r e^{-i \omega t}$$r$$r \in [0, 1)$$\omega$

Ejemplo detallado de AR (2)

Supongamos que tenemos el AR (2):

$$y_t = \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t$$

Puede escribir cualquier AR (p) como VAR (1) . En este caso, la representación VAR (1) es:

$$\underbrace{\begin{bmatrix} y_t \\ y_{t-1} \end{bmatrix} }_{X_t} = \underbrace{\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix} y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{bmatrix}}_{X_{t-1}} + \underbrace{\begin{bmatrix}\epsilon_t \\ 0 \end{bmatrix}}_{U_t}$$ matriz gobierna la dinámica de y, por lo tanto, . La ecuación característica de la matriz es: Los valores propios de son: Los vectores propios de son: $A$$X_t$$y_t$$A$ $$\lambda^2 - \phi_1 \lambda - \phi_2 = 0$$ $A$ $$\lambda_1 = \frac{\phi_1 + \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2} \quad \quad \lambda_2 = \frac{\phi_1 - \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{2}$$ $A$ $$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Tenga en cuenta que . Formando la descomposición del valor propio y elevando a la ésima potencia. $\operatorname{E}[X_{t+k} \mid X_t, X_{t-1}, \ldots] = A^kX_t$$A$$k$

$$A^k = \begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1^k & 0 \\ 0 & \lambda_2^k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} & \frac{-\lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}\\ \frac{-1}{\lambda_1 - \lambda_2}& \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \end{bmatrix}$$

Un valor propio real conduce a la descomposición al aumentar . Los valores propios con componentes imaginarios distintos de cero conducen a un comportamiento cíclico.$\lambda$$\lambda^k$

Valores propios con componente imaginario:$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$

En el contexto AR (2), tenemos valores propios complejos si . Como es real, deben venir en pares que son conjugados complejos entre sí.$\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$$A$

Después del Capítulo 2 de Prado y West (2010), deje que

$$c_t = \frac{\lambda}{\lambda - \bar{\lambda}} y_t - \frac{\lambda \bar{\lambda}}{\lambda - \bar{\lambda}} y_{t-1}$$

Puede mostrar el pronóstico está dado por:$\operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots]$

$$\begin{align*} \operatorname{E}[y_{t+k} \mid y_t, y_{t-1}, \ldots] &= c_t \lambda ^k + \bar{c}_t \bar{\lambda}^k \\ &= a_t r^k \cos(\omega k + \theta_t) \end{align*}$$

Hablando libremente, agregar los conjugados complejos cancela su componente imaginario dejándolo con una sola onda coseno amortiguada en el espacio de los números reales. (Tenga en cuenta que debemos tener para estacionariedad).$0 \leq r < 1$

Si desea encontrar , , , , comience usando la fórmula de Euler que , podemos escribir:$r$$\omega$$a_t$$\theta_t$$re^{i \theta} = r \cos \theta + r \sin \theta$

$$\lambda = re^{i\omega} \quad \bar{\lambda} = re^{-i\omega} \quad r = |\lambda| = \sqrt{ -\phi_2}$$ $$\omega = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} \lambda, \operatorname{real} \lambda \right) = \operatorname{atan2}\left( \frac{1}{2} \sqrt{-\phi_1^2-4\phi_2}, \frac{1}{2} \phi_1\right)$$

$$a_t = 2 |c_t| \quad \quad \theta_t = \operatorname{atan2}\left( \operatorname{imag} c_t, \operatorname{real} c_t \right)$$

Apéndice

Nota ¡Advertencia terminológica confusa! Relacionando el polinomio característico de A con el polinomio característico de AR (p)

Otro truco de la serie temporal es utilizar el operador de retraso para escribir el AR (p) como:

$$\left(1 - \phi_1 L - \phi_2L^2 - \ldots - \phi_pL^p \right)y_t = \epsilon_t$$

Reemplace el operador de retraso con alguna variable y las personas a menudo se refieren a como el polinomio característico del modelo AR (p). Como se explica en esta respuesta , este es exactamente el polinomio característico de donde . Las raíces son los recíprocos de los valores propios. (Nota: para que el modelo sea estacionario, desea , que está dentro del círculo de la unidad, o equivalente , que está fuera del círculo de la unidad).$L$$z$$1 - \phi_1 z - \ldots - \phi_pz^p$ A z = 1$A$$z = \frac{1}{\lambda}$$z$$|\lambda| < 1$$|z|>1$

Referencias

Prado, Raquel y Mike West, Series temporales: modelado, computación e inferencia , 2010