Binomios negativos competidores

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Estoy tirando un dado justo. ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de tiradas hasta que primero acumulo: 1) Cinco unidades 2) 20 ocurrencias de caras que no son una?

Estoy feliz de compartir la aplicación real si eso ayudara.

probability negative-binomial Alec Walker
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¿Tiene esto una aplicación que no sea obtener una buena calificación en la tarea o un examen para llevar a casa?

Mark L. Stone

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Lo siento. Creo que entendí mal la naturaleza del sitio. No soy ni estudiante ni estadístico profesional. Estaba buscando consejos sobre un problema del mundo real.

Alec Walker

Fue lanzado de una manera que lo hizo parecer un problema de libro de texto, y eso a menudo hará que la gente piense que estás tratando de hacer que la gente haga la tarea. Sin embargo, no es solo por esa razón que puede ser mejor no abstraer en exceso (textbookify) el problema, a menudo hay aspectos del problema original que pueden ser importantes al considerar una solución que un póster, sin saber que podría haber problema estadístico relacionado con él, simplemente se ha abstraído y del cual no queda rastro.

Glen_b -Reinstala a Monica

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Está realizando el equivalente de lanzar una moneda con una probabilidad de cara hasta que o colas ("sin cara") hayan aparecido. Si lo ha lanzado veces, la distribución binomial da la posibilidad de que este evento no ocurra. $p=1/6$ $a=5$ $b=20$ $n$

S (n; a, b, p) = \sum_{k = max (0, n - b + 1)}^{min (n, a - 1)} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

$S(n;a,b,p) = \sum_{k=\max(0,n-b+1)}^{\min(n,a-1)} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}.$

(La suma es igual a cero cuando su límite inferior excede su límite superior).

Por lo tanto la probabilidad de que es de banda cuando cualquiera de cabezas o se observan primero colas se $n\gt 0$ $a$ $b$

f (n; a, b, p) = S (n - 1; a, b, p) - S (n; a, b, p) .

$f(n;a,b,p) = S(n-1;a,b,p) - S(n;a,b,p).$

Obviamente, esto debe ser igual a para o . Por lo tanto, podemos informar fácilmente la distribución completa: aquí está la gráfica de su función de probabilidad entre y como se calcula mediante estas fórmulas: $0$ $n \lt \min(a,b)$ $n \ge a+b$ $f$ $0$ $a+b=25,$

Esta sencilla solución se vuelve aún más simple (y los rendimientos más información acerca de si los lanzamientos terminados con cabezas o colas) cuando reconocemos la pregunta se puede enmarcar como un paseo aleatorio en el avión. $a$ $b$ $(x,y)$

Comience en el origen . Siempre que la moneda salga cara, mueva una unidad hacia arriba; de lo contrario, mueva una unidad hacia la derecha. Deténgase la primera vez que se golpee una de las barreras absorbentes ao . $(0,0)$ $y=a$ $x=b$

La geometría de esta situación se muestra en la segunda figura. Traza los puntos que se pueden alcanzar en esta caminata, mostrando las barreras absorbentes como líneas negras. Los posibles puntos terminales a lo largo de esas barreras están marcados con puntos negros.

El número de veces que se alcanzó cada punto terminal en 1000 iteraciones de esta caminata se representa con los colores y tamaños de los puntos más grandes. La ruta que se muestra en rojo corresponde a una secuencia en la que se observó una cola, luego una cabeza, luego 10 colas, una cabeza, una cola, dos cabezas, cuatro colas y una cabeza. Comprende 21 lanzamientos de monedas en total.

Cada camino que llega a cualquier punto particular en la barrera de absorción consiste en colas y cabezas y por lo tanto tiene una probabilidad de . Claramente, el último resultado en cualquier camino que termina en fue una cara. El número de tales rutas, por lo tanto, es la cantidad de rutas distintas que conectan a , de las cuales hay . En consecuencia, la posibilidad de terminar en es $(x,y)$ $x$ $y$ $p^y(1-p)^x$ $(x,a)$ $(0,0)$ $(x,a-1)$ $\binom{x+a-1}{a-1}$ $(x,a)$

Pr (x, a) = (\binom{x + a - 1}{a - 1}) p^{a} (1 - p)^{x} .

$\Pr(x,a) = \binom{x+a-1}{a-1} p^{a}(1-p)^x.$

Del mismo modo, la posibilidad de terminar en es $(b,y)$

Pr (b, y) = (\binom{y + b - 1}{b - 1}) p^{y} (1 - p)^{b} .

$\Pr(b,y) = \binom{y+b-1}{b-1} p^y(1-p)^b.$

La posibilidad de terminar después de pasos, con , por lo tanto, es la suma de dos expresiones (una de las cuales puede ser cero): $n$ $\min(a,b)\le n \lt a+b-1$

f (n; a, b, p) = (\binom{n - 1}{a - 1}) p^{a} (1 - p)^{n - a} + (\binom{n - 1}{b - 1}) p^{n - b} (1 - p)^{b} if min (a, b) \leq n < a + b .

$f(n;a,b,p) = \binom{n-1}{a-1} p^a(1-p)^{n-a} + \binom{n-1}{b-1} p^{n-b}(1-p)^b\text{ if }\min(a,b)\le n \lt a+b.$

Esto cuenta el número de pasos que alcanzan la barrera absorbente en la parte superior o derecha, respectivamente, ponderando cada uno por su probabilidad. $n$

El salto repentino de probabilidad en en la primera figura se explica ahora: $n=20$ por primera vez (en comparación con valores más pequeños de ), es posible finalizar los lanzamientos en la barrera de la derecha. Esto sucede en una gran cantidad de casos, porque es (ligeramente) más probable que se alcance la barrera correcta antes que la barrera superior. (La posibilidad de alcanzar la barrera correcta primero se encuentra fácilmente sumando las probabilidades asociadas con sus cinco puntos, que es casi .) Sabemos que terminar la caminata en la barrera derecha es más probable porque en promedio un camino se elevará por una unidad del tiempo pero se moverá hacia la derecha una unidad $n$ $63\%$ $p=1/6$ $1-p=5/6$ del tiempo, para una pendiente promedio de . Un camino con esa pendiente alcanza la región absorbente en la ubicación : en la barrera de la derecha. $1/6:5/6 = 1/5$ $(20, 20/5)=(20,4)$

whuber
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Encantador, ambas soluciones. El segundo parece la suma de los binomios negativos de dos componentes, en el rango min (a, b) ≤n <a + b,

Alec Walker

Lo hace. La conexión se vuelve aún más evidente cuando interpretas un binomio negativo en términos de una caminata aleatoria con una barrera de absorción lineal.

whuber

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Habiendo dormido, creo que la estrategia puede ser esta:

Convierta cada una de las distribuciones de probabilidad binomial negativa en probabilidades condicionales. es decir, condicional a no haber obtenido 5 unidades en n-1, ¿cuál es la probabilidad de obtener una quinta en la enésima tirada?

De n = 1 a suficientemente grande,

suma las dos probabilidades condicionales y multiplica el complemento por S (n-1), la "supervivencia" acumulativa a través del (n-1) th roll.
Tome las diferencias sucesivas S (n-1) -S (n) para recuperar la distribución de probabilidad.

El escenario es un monitoreo comparativo de la seguridad de los productos de salud comercializados. Tienes dos grupos comparados, posiblemente de tamaño desigual, seguidos con el tiempo. Cada evento adverso es un ensayo binomial, ya que el evento puede derivar del medicamento A o del medicamento B.

Alec Walker
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Aunque este enfoque se describe demasiado vagamente como para evaluarlo, probablemente no dé la respuesta correcta, porque tales combinaciones de objetivos en procedimientos secuenciales tienden a involucrar sutilezas contradictorias. Consulte stats.stackexchange.com/questions/12174 para obtener una generalización de su pregunta.

whuber

¡No solo vago, sino incorrecto! Gracias por tus lúcidas explicaciones.

Alec Walker

Binomios negativos competidores

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