¿La varianza de una suma es igual a la suma de las varianzas?

¿Es (siempre) cierto que

$$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$$

La respuesta a su pregunta es "A veces, pero no en general".

Para ver esto, dejemos que sean variables aleatorias (con variaciones finitas). Entonces,$X_1, ..., X_n$

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$$

Ahora tenga en cuenta que , que está claro si usted piensa en lo que estás haciendo cuando calculas a mano. Por lo tanto,$(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$$(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

$$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$$

similar,

$$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$$

entonces

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$$

por la definición de covarianza.

Ahora con respecto ¿La varianza de una suma es igual a la suma de las varianzas? :

• Si las variables no están correlacionadas, sí : es decir, para , entonces${\rm cov}(X_i,X_j)=0$$i\neq j$

  $${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$$

• Si las variables están correlacionadas, no, no en general : por ejemplo, supongamos que son dos variables aleatorias, cada una con varianza y donde . Entonces , por lo que la identidad falla.$X_1, X_2$$\sigma^2$${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$$0 < \rho <\sigma^2$${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$

• pero es posible para ciertos ejemplos : que tienen matriz de covarianza luego$X_1, X_2, X_3$

  $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

Por lo tanto, si las variables no están correlacionadas, entonces la varianza de la suma es la suma de las varianzas, pero lo contrario no es cierto en general.

$$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$$

Entonces, si las covarianzas promedian , lo que sería una consecuencia si las variables no están correlacionadas por pares o si son independientes, entonces la varianza de la suma es la suma de las varianzas.$0$

Un ejemplo donde esto no es cierto: Let . Deje . Entonces .$\text{Var}(X_1)=1$$X_2 = X_1$$\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

Solo quería agregar una versión más sucinta de la prueba dada por Macro, para que sea más fácil ver lo que está sucediendo. $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

Tenga en cuenta que desde$\Var(X) = \Cov(X,X)$

Para cualquiera de las dos variables aleatorias tenemos:$X,Y$

$$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$$ Por lo tanto, en general, la varianza de la suma de dos variables aleatorias no es la suma de las varianzas. Sin embargo, si son independientes, entonces , y tenemos .$X,Y$$E(XY) = E(X)E(Y)$$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

Observe que podemos producir el resultado para la suma de variables aleatorias mediante una simple inducción.$n$

Sí, si cada par de no está correlacionado, esto es cierto.$X_i$

Ver la explicación en Wikipedia