¿Por qué las autocovarianzas podrían caracterizar completamente una serie temporal?

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Leí en la serie temporal de John Cochrane para Macroeconomía y Finanzas que:

La autocovarianza puede caracterizar completamente las series de tiempo [distribución conjunta].

No entiendo completamente la conexión entre covarianza y distribución conjunta aquí. ¿Alguien puede explicar eso?

time-series autocorrelation joint-distribution Cerdo volador
fuente
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Apuesto a que asume que el proceso es gaussiano, ¿verdad?
whuber
@whuber, sí, usa el modelo ARMA para ilustrar, y asume el término de error siempre como ruido blanco.
Flying pig
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El ruido blanco por sí solo no garantiza el resultado que necesita; necesitas ruido blanco gaussiano .
Dilip Sarwate

Respuestas:

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Un proceso gaussiano estacionario se caracteriza completamente por la combinación de su función de media, varianza y autocorrelación. La afirmación a medida que la lees no es cierta. Necesita las siguientes condiciones adicionales:

  1. El proceso es estacionario.
  2. el proceso es gaussiano
  3. se especifica la mediaμ

Entonces, todo el proceso estocástico se caracteriza completamente por su función de autocovarianza (o, de manera equivalente, su varianza + función de autocorrelación).σ2

Esto simplemente se basa en el hecho de que cualquier distribución gaussiana multivariante está determinada únicamente por su vector medio y su función de covarianza. Entonces, dadas todas las condiciones que mencioné anteriormente, la distribución conjunta de cualquier observación en la serie de tiempo tiene una distribución normal multivariada con un vector medio que tiene cada componente igual a (por estacionariedad) cada componente tiene una varianza (nuevamente por estacionariedad) y los componentes de covarianza están dados por las correspondientes covarianzas rezagadas en la función de autocovarianza (de nuevo, la estacionalidad entra porque la autocovarianza solo depende de la diferencia de tiempo (o retraso) entre las dos observaciones cuya covarianza se está tomando.kμσ2

Michael R. Chernick
fuente
(+1) Creo que esto se dice implícitamente en la condición (1) pero también requiere que sea ​​constante, ¿verdad? μ
Macro
@Macro Sí, estacionariedad, incluso la estacionariedad de sentido débil (covarianza) requiere una media constante y una varianza constante.
Michael R. Chernick
@MichaelChernick, entonces podríamos reproducir la distribución conjunta del proceso estocástico (o simular el proceso estocástico en sí mismo) al tener su media y autocovarianza.
Flying pig
@Flyingpig Sí para cualquier subconjunto de variables, siempre que sea un proceso estacionario de Gauss. no tiene que ser un proceso AR, MA o ARMA. Solo tiene que ser un proceso estacionario gaussiano. No debería ser una sorpresa. Esta es una propiedad bien conocida para distribuciones normales multivariadas.
Michael R. Chernick
@Macro Supongo que la condición media constante es redundante en las condiciones requeridas que di. Lo acabo de mencionar porque para caracterizar completamente el proceso estocástico es necesario saber cuál es el valor de la media y la varianza y no solo de que ambos son constantes.
Michael R. Chernick