¿Existe una generalización de la traza Pillai y la traza Hotelling-Lawley?

En el contexto de la regresión múltiple multivariada (regresor de vectores y regresiones), las cuatro pruebas principales para la hipótesis general (Wilk's Lambda, Pillai-Bartlett, Hotelling-Lawley y Roy's Largest Root) dependen de los valores propios de la matriz , donde y son las matrices de variación 'explicadas' y 'totales'. $H E^{-1}$ $H$ $E$

Me di cuenta de que las estadísticas de Pillai y Hotelling-Lawley podían expresarse como para, respectivamente, . Estoy mirando una aplicación en la que la distribución de esta traza, definida para los análogos de población de y , es de interés para el caso . (errores de módulo en mi trabajo). Tengo curiosidad por saber si existe alguna unificación conocida de las estadísticas de muestra para general , o alguna otra generalización que capture dos o más de las cuatro pruebas clásicas. Me doy cuenta de que para no es igual a o

ψ_{κ} = Tr (H {[κ H + E]}^{- 1}),

$\psi_{\kappa} = \mbox{Tr}\left(H\left[\kappa H + E\right]^{-1}\right),$

κ = 1, 0

$\kappa = 1, 0$

H

$H$

E

$E$

κ = 2

$\kappa = 2$

κ

$\kappa$

κ

$\kappa$

0

$0$

1

$1$ , el numerador ya no se ve como un Chi-cuadrado debajo del nulo, por lo que una aproximación F central parece cuestionable, por lo que quizás este sea un callejón sin salida.

Espero que haya habido alguna investigación sobre la distribución de bajo nulo ( es decir, la verdadera matriz de coeficientes de regresión es cero), y bajo la alternativa. Estoy interesado particularmente en el caso , pero si hay trabajo en el caso general , podría, por supuesto, usarlo. $\psi_{\kappa}$ $\kappa = 2$ $\kappa$

regression multiple-regression multivariate-analysis manova shabbychef
fuente

Espera, ¿ es la variación explicada 'E' y es la variación total 'T'? Solo estoy revisando mis mnemotécnicos.

H

$H$

E

$E$

cardenal

@ cardinal, eso es correcto. Cuando es el mínimo cuadrado multivariante que se ajusta a los coeficientes de correlación, tenemos y Una descripción general (literalmente) de Michael Friendly me ha sido muy útil: psych.yorku.ca/lab/psy6140/lectures/…

\hat{B}

$\hat{B}$

H = {\hat{B}}^{⊤} (X^{⊤} X) \hat{B}

$H=\hat{B}^{\top} \left(X^{\top}X\right)\hat{B}$

E = {(Y - X \hat{B})}^{⊤} (Y - X \hat{B}) .

$E=\left(Y - X\hat{B}\right)^{\top}\left(Y - X\hat{B}\right).$

shabbychef

¡Gracias! Le echaré un vistazo. (Por cierto, estaba bromeando sobre la base de la elección de letras, 'h' para 'explicado' y 'e' para 'total'.) Por cierto, pregunta interesante; (+1) de mi parte.

Cardenal

@cardinal Estaba con cafeína insuficiente para notar el chiste. Sí, los mnemónicos son malos, pero la elección de y (y ) es bastante estándar.

H

$H$

E

$E$

T = H + E

$T=H+E$

shabbychef

La broma fue lo suficientemente mala como para requerir mucha cafeína para darse cuenta.

cardenal

Me imagino que las generalizaciones productivas surgirían de observaciones que

algunas de estas pruebas son normas del vector , por lo que el rastro de Hotelling-Lawley es la norma , , y la raíz más grande de Roy es la norma , . ${\rm spec}[HE^{-1}]=\{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\}$ $l_1$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_1$ $l_\infty$ $\| \{\lambda_1, \ldots, \lambda_p\} \|_\infty$
algunas de estas pruebas pueden ser una norma de la matriz , por ejemplo, la raíz más grande de Roy es la espectral, o , norma . $HE^{-1}$ $l_2$ $\| H E^{-1} \|_2$
algunas de las pruebas pueden tener la forma de entropía generalizada , por ejemplo, el rastro de Hotelling-Lawley es GE (1), la raíz más grande de Roy es GE ( ) y Wilks ' es GE (-1) en , hasta una transformación monótona cada uno. $\infty$ $\Lambda$ $\{1+\lambda_1, \ldots, 1+\lambda_p\}$

Cuando se entretienen otras normas u otros parámetros de entropía generalizados, se pueden llegar a otras estadísticas que podrían ser significativas. embargo, dudo que alguno de ellos produzca su . $\psi_2$

StasK
fuente

Creo que tenemos , donde son los valores propios de . Pero eso no parece llevarme a ninguna parte. Supongo que no sé lo suficiente sobre la distribución de las sumas de los valores propios ...

ψ_{κ} = \sum_{i} \frac{λ_{i}}{1 + κ λ_{i}}

$\psi_{\kappa} = \sum_i \frac{\lambda_i}{1 + \kappa\lambda_i}$

λ_{i}

$\lambda_i$

H E^{- 1}

$HE^{-1}$

shabbychef

¿Existe una generalización de la traza Pillai y la traza Hotelling-Lawley?

Respuestas: