Explicación intuitiva de la unidad de raíz.

¿Cómo explicaría intuitivamente qué es una raíz unitaria, en el contexto de la prueba de raíz unitaria?

Estoy pensando en formas de explicar mucho como he fundado en esta pregunta .

El caso con la raíz unitaria es que sé (poco, por cierto) que la prueba de raíz unitaria se usa para probar la estacionariedad en una serie de tiempo, pero es solo eso.

¿Cómo se lo explicarías al laico o a una persona que haya estudiado un curso muy básico de probabilidad y estadística?

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Acepté la respuesta de Whuber, ya que es lo que más refleja lo que pregunté aquí. Pero insto a todos los que vinieron aquí a leer las respuestas de Patrick y Michael también, ya que son el "siguiente paso" natural para comprender la raíz de la unidad. Usan las matemáticas, pero de una manera muy intuitiva.

Acababa de llegar al puente; y sin mirar a dónde iba, tropezó con algo, y el cono de abeto salió de su pata al río.

"Molesta", dijo Pooh, mientras flotaba lentamente bajo el puente, y volvió a buscar otro cono de abeto que tenía una rima. Pero luego pensó que en su lugar solo miraría el río, porque era un día tranquilo, así que se tumbó y lo miró, y se deslizó lentamente debajo de él. . . y de repente, su cono de abeto también se escapó.

"Eso es gracioso", dijo Pooh. "Lo dejé caer del otro lado", dijo Pooh, "¡y salió de este lado! Me pregunto si volvería a hacerlo".

AA Milne, The House at Pooh Corner (Capítulo VI. En el que Pooh inventa un nuevo juego y eeyore se une).

Aquí hay una imagen del flujo a lo largo de la superficie del agua:

Las flechas muestran la dirección del flujo y están conectadas por líneas de corriente. Un cono de abeto tenderá a seguir la línea de corriente en la que cae. Pero no siempre lo hace de la misma manera cada vez, incluso cuando se deja caer en el mismo lugar en la corriente: variaciones aleatorias a lo largo de su camino, causadas por turbulencias en el agua, el viento y otros caprichos de la naturaleza, lo empujan hacia el vecino. Líneas de corriente.

Aquí, el cono de abeto se dejó caer cerca de la esquina superior derecha. Siguió más o menos las líneas de la corriente, que convergen y fluyen hacia abajo y hacia la izquierda, pero tomó pequeños desvíos en el camino.

Un "proceso autorregresivo" (proceso AR) es una secuencia de números que se cree que se comportan como ciertos flujos. La ilustración bidimensional corresponde a un proceso en el que cada número está determinado por sus dos valores anteriores, más un "desvío" aleatorio. La analogía se realiza interpretando cada par sucesivo en la secuencia como coordenadas de un punto en la secuencia. Instantáneo a instantáneo, el flujo de la corriente cambia las coordenadas del cono de abeto de la misma manera matemática dada por el proceso AR.

Podemos recuperar el proceso original de la imagen basada en el flujo escribiendo las coordenadas de cada punto ocupado por el cono de abeto y luego borrando todos menos el último número en cada conjunto de coordenadas.

La naturaleza, y las corrientes en particular, es más rica y variada que los flujos correspondientes a los procesos de AR. Debido a que se supone que cada número de la secuencia depende de la misma manera fija de sus predecesores, aparte de la parte de desvío aleatorio, los flujos que ilustran los procesos AR exhiben patrones limitados. De hecho, pueden parecer fluir como una corriente, como se ve aquí. También pueden verse como remolinos alrededor de un desagüe. Los flujos pueden ocurrir en reversa, pareciendo brotar hacia afuera desde un drenaje. Y pueden parecer bocas de dos corrientes chocando juntas: dos fuentes de agua fluyen directamente entre sí y luego se separan a los lados. Pero eso es todo. No se puede tener, por ejemplo, una corriente que fluya con remolinos a los lados. Los procesos de AR son demasiado simples para eso.

En este flujo, el cono de abeto se dejó caer en la esquina inferior derecha y se llevó rápidamente al remolino en la esquina superior derecha, a pesar de los ligeros cambios aleatorios en la posición que sufrió. Pero nunca dejará de moverse, debido a esos mismos movimientos aleatorios que lo rescatan del olvido. Las coordenadas del cono de abeto se mueven un poco, de hecho, se ve que oscilan, en general, alrededor de las coordenadas del centro del remolino. En el primer flujo de la corriente, las coordenadas progresaron inevitablemente a lo largo del centro de la corriente, que rápidamente capturó el cono y lo llevó más rápido de lo que sus desvíos aleatorios podrían ralentizarlo: tienden en el tiempo. Por el contrario, dar vueltas alrededor de un remolino ejemplifica un estacionarioproceso en el que se captura el cono de abeto; fluyendo lejos por la corriente, en la cual el cono fluye fuera de la vista (tendencia) no es estacionario.

Por cierto, cuando el flujo de un proceso AR se aleja aguas abajo, también se acelera. Se vuelve más y más rápido a medida que el cono se mueve a lo largo de él.

La naturaleza de un flujo AR está determinada por unas pocas direcciones especiales, "características", que generalmente son evidentes en el diagrama de flujo: las líneas de flujo parecen converger hacia o provienen de estas direcciones. Siempre se pueden encontrar tantas direcciones características como coeficientes en el proceso de AR: dos en estas ilustraciones. Asociado con cada dirección característica hay un número, su "raíz" o "valor propio". Cuando el tamaño del número es menor que la unidad, el flujo en esa dirección característica es hacia una ubicación central. Cuando el tamaño de la raíz es mayor que la unidad, el flujo se acelera de distancia desde una ubicación central.$1$Está dominado por las fuerzas aleatorias que afectan al cono. Es una "caminata aleatoria". El cono puede alejarse lentamente pero sin acelerar.

(Algunas de las figuras muestran los valores de ambas raíces en sus títulos).

Incluso Pooh, un oso de muy poco cerebro, reconocería que la corriente capturará su cono de abeto solo cuando todo el flujo sea hacia un remolino o remolino; de lo contrario, en uno de esos desvíos aleatorios, el cono eventualmente se encontrará bajo la influencia de esa parte del flujo con una raíz mayor que en magnitud, de donde se alejará río abajo y se perderá para siempre. En consecuencia, un proceso AR puede ser estacionario si y solo si todos los valores característicos son menores que la unidad de tamaño .$1$

Los economistas son quizás los mejores analistas de series de tiempo y empleadores de la tecnología de procesos AR. Su serie de datos generalmente no se acelera fuera de la vista. Por lo tanto, solo les preocupa si existe una dirección característica cuyo valor puede ser tan grande como : una "raíz unitaria". Saber si los datos son consistentes con ese flujo puede decirle al economista mucho sobre el destino potencial de su pooh stick: es decir, sobre lo que sucederá en el futuro. Es por eso que puede ser importante probar una raíz unitaria. Un buen artículo de Wikipedia explica algunas de las implicaciones.$1$

Pooh y sus amigos encontraron una prueba empírica de estacionariedad:

Ahora, un día, Pooh, Piglet, Rabbit y Roo estaban jugando Poohsticks juntos. Habían dejado caer sus palos cuando Rabbit dijo "¡Ve!" y luego se habían apresurado a cruzar el otro lado del puente, y ahora todos estaban inclinados sobre el borde, esperando ver de quién salía primero el palo. Pero tardó mucho en llegar, porque el río estaba muy lento ese día, y no parecía importarle si nunca llegaba allí.

"¡Puedo ver el mío!" gritó Roo. "No, no puedo, es otra cosa. ¿Puedes ver el tuyo, Piglet? Pensé que podía ver el mío, pero no pude. ¡Ahí está! No, no lo es. ¿Puedes ver el tuyo, Pooh? "

"No", dijo Pooh.

"Espero que mi palo esté atascado", dijo Roo. "Conejo, mi palo está atascado. ¿Tu palo está atascado, Piglet?"

"Siempre tardan más de lo que piensas", dijo Rabbit.

Este pasaje, de 1928, podría interpretarse como la primera "prueba de Unit Roo".

Imagine dos procesos :$AR(1)$

• Proceso 1:$v_k = 0.5 v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• Proceso 2:$v_k = v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$
• $\epsilon_i$ se extrae de$N(0,1)$

El proceso 1 no tiene raíz unitaria. El proceso 2 tiene una raíz unitaria. Puede confirmar esto calculando polinomios característicos según la respuesta de Michael.

Imagina que comenzamos ambos procesos en cero, es decir, . Ahora imagine lo que sucede cuando tenemos una "buena racha" de épsilons positivos, e imagine que ambos procesos llegan a .$v_1 = 0$$v_{10} = 5$

¿Qué pasa después? ¿Dónde esperamos que vaya la secuencia?

Esperamos que . Entonces, esperamos que el caso del Proceso 1 tenga , , etc.$\epsilon_{i} = 0$$v_{11} = 2.5$$v_{12} = 1.25$$v_{13} = 0.625$

Pero esperamos para el Proceso 2 que , , etc.$v_{11} = 5$$v_{12} = 5$$v_{13} = 5$

Entonces, una intuición es que cuando una "racha de buena / mala suerte" empuja un proceso con una raíz unitaria, la secuencia "queda atrapada en su posición" por la buena o mala suerte histórica. Todavía cambiará al azar, pero no hay nada que "lo obligue a retroceder". Por otro lado, cuando no hay raíz unitaria y el proceso no explota, hay una "fuerza" en el proceso que hará que el proceso vuelva a la posición anterior, aunque el ruido aleatorio aún lo golpeará un poco. .

El "quedarse atascado" puede incluir oscilaciones no amortiguadas, un ejemplo simple es: . Esto se moverá de un lado a otro de positivo a negativo, pero la oscilación no está predestinada a explotar hasta el infinito o disminuir a cero. Puede obtener más formas de "quedarse atascado", que incluyen tipos más complejos de oscilaciones.$v_k = -v_{k-1} + \epsilon_{k-1}$

Considere el proceso autorregresivo de primer orden donde es ruido blanco. El modelo también se puede expresar con todas las en un lado como

Usando el operador de podemos volver a expresar el modelo de forma compacta como o, de manera equivalente, El polinomio característico es . Esto tiene una raíz (única) en . Entonces, para tenemos un proceso estacionario y para tenemos un proceso explosivo no estacionario . Para tenemos una caminata aleatoria que no es estacionaria y una raíz unitaria 1/1 . Entonces, las raíces unitarias forman el límite entre la estacionariedad y la no estacionariedad. El$BX_t = X_{t-1}$$X_t-aBX_t =e_t$