¿Cuál es la diferencia entre PCA y PCA asintótica?

En dos artículos en 1986 y 1988 , Connor y Korajczyk propusieron un enfoque para modelar los rendimientos de los activos. Dado que estas series de tiempo generalmente tienen más activos que las observaciones de períodos de tiempo, propusieron realizar un PCA en covarianzas transversales de rendimientos de activos. A este método lo llaman Análisis de componentes principales asintóticos (APCA, que es bastante confuso, ya que el público piensa inmediatamente en las propiedades asintóticas de PCA).

He resuelto las ecuaciones, y los dos enfoques parecen numéricamente equivalentes. Las asintóticas, por supuesto, difieren, ya que la convergencia se prueba para lugar de . Mi pregunta es: ¿alguien ha usado APCA y comparado con PCA? ¿Hay diferencias concretas? ¿De ser asi, cuales?T → $N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

No hay absolutamente ninguna diferencia.

No hay absolutamente ninguna diferencia entre PCA estándar y lo que C&K sugirió y llamó "PCA asintótica". Es bastante ridículo darle un nombre por separado.

$\mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

Me parece que lo que sugirió C&K es calcular los vectores propios de la matriz de Gram para calcular los componentes principales. Bueno, wow Esto no es "equivalente" a PCA; que es PCA.

Para agregar a la confusión, el nombre "PCA asintótica" parece referirse a su relación con el análisis factorial (FA), no con PCA. Los documentos originales de C&K están bajo paywall, así que aquí hay una cita de Tsay, Analysis of Financial Time Series, disponible en Google Books:

$k$$\to \infty$

$k \to \infty$

• ¿Hay alguna buena razón para usar PCA en lugar de EFA? Además, ¿puede la PCA ser un sustituto del análisis factorial?
• ¿Bajo qué condiciones PCA y FA producen resultados similares?

El resultado final es: C&K decidió acuñar el término "PCA asintótica" para PCA estándar (que también podría llamarse "FA asintótica"). Me atrevería a recomendar nunca usar este término.

Normalmente, APCA se utiliza cuando hay muchas series pero muy pocas muestras. No describiría APCA como mejor o peor que PCA, debido a la equivalencia que notó. Sin embargo, difieren en cuándo las herramientas son aplicables. Esa es la idea del artículo: ¡puede voltear la dimensión si es más conveniente! Entonces, en la aplicación que mencionó, hay muchos activos, por lo que necesitaría una serie de tiempo larga para calcular una matriz de covarianza, pero ahora puede usar APCA. Dicho esto, no creo que APCA se aplique con mucha frecuencia porque podría intentar reducir la dimensionalidad utilizando otras técnicas (como el análisis factorial).