Si es estacionario, ¿es necesariamente estacionario?

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Encontré una prueba para una de las propiedades del modelo ARCH que dice que si , entonces es estacionario iff donde el modelo ARCH es:{ X t } p i = 1 b i < 1E(Xt2)<{Xt}i=1pbi<1

Xt=σtϵt

σt2=b0+b1Xt12+...bpXtp2

La idea principal de la prueba es mostrar que se puede escribir como un proceso AR (p) y si es verdadero, entonces todas las raíces del polinomio característico se encuentran fuera de la unidad círculo y por lo tanto es estacionario. Luego dice que por lo tanto es estacionario. ¿Cómo sigue esto?Xt2i=1pbi<1{Xt2}{Xt}

Estudiante
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En general, no. Podrías imaginar un proceso donde es estacionario, pero X t = Xt en algunos intervalos peroXt=-Xt=Xt2 en algún otro intervalo de tiempo. Quizás exagerado, pero una posibilidad matemática. Xt=Xt2
kjetil b halvorsen

Respuestas:

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De la sección dada, entiendo cómo puede ver que la estacionariedad de implica la estacionariedad de X t, pero en realidad solo implica una variación constante de X t .Xt2Xt Xt

Los autores de esa prueba estaban usando la estacionariedad de para completar un argumento que habían comenzado antes al observar momentos incondicionales de X tXt2Xt

Recordemos los condiciones orden de estacionariedad:2nd

  1. t ZE(Xt)< tZ
  2. t ZVar(Xt)=m tZ
  3. h ZCov(Xt,Xt+h)=γx(h) hZ

La condición 1 fue probada por E(Xt)=E(E(XtEl |Ft-1))=0 0

La condición 3 fue probada por E(XtXt1)=E(σtϵtσt1ϵt1)=E(E(σtϵtσt1ϵt1)|Ft1)=E(σtσt1E(ϵt1ϵt)|Ft1))=0

Pero para probar la segunda condición, necesitaban probar una varianza incondicional constante de Xt

Var(Xt)=Var(Xt1)=Var(Xt2)=...=m

Esto es lo que lleva a una suposición de estacionariedad de que usted ha mencionado utiliza su forma A R ( p ) . En resumen: V a r ( X t ) = E ( V a r ( X t ) | F t - 1 ) + V a r ( E ( X t | F t - 1 ) ) = E ( VXt2AR(p)

Var(Xt)=E(Var(Xt)|Ft1)+Var(E(Xt|Ft1))=E(Var(ut|Ft1))becausethelasttermis0=E(b0+b1Xt12+...bpXtp2)=b0+b1E(Xt12)+...bpE(Xtp2)=b0+b1var(Xt1)+...bpvar(Xtp)
Σbi<1
var(Xt1)=...=var(Xtp)=b01b1...bpwhichisalasconstant!
machazthegamer
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