¿Por qué la suma de las autocorrelaciones de muestra de una serie estacionaria es igual a -1/2?

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No puedo entender esta propiedad de series estacionarias y la función de autocorrelación. Tengo que demostrar que

∑h=1n−1ρ^(h)=−12

Dónde ρ^(h)=γ^(h)γ^(0) y γ^(h) es la función de autocovarianza

γ^(h)=1n∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)

Espero que alguien pueda ayudarme con una prueba, o al menos señalarme en la dirección correcta.

time-series autocorrelation stationarity Ernesto
fuente
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Sugerencia: restando una constante de todos los Xt, que no cambiará ninguno de los γ^(h), puedes asumir 0=∑t=1nXt. Ajusta eso y busca piezas que coincidan con tus dos sumas.
whuber
Gracias por la respuesta. Entiendo que restar una constante no afecta a ninguno de losγ^(h), pero no veo por qué me permite suponer que la suma de la serie es igual a 0.
Ernesto
Resta exactamente la constante que hace ∑Xt igual a 0. Ahora tu γ^ se simplifica (porque el nuevo Xttienen una media de 0) y los términos son mucho más fáciles de jugar (pero sin pérdida de generalidad).
Glen_b -Reinstalar Monica
Parece que debería ser 1/(n−h) más bien que 1/n
Alecos Papadopoulos
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@AlecosPapadopoulos Creo que ambas versiones son estimadores válidos de la función de autocovarianza con las mismas propiedades asintóticas, pero leí en alguna parte que 1/nse prefiere. (La razón es que la matrizγ^(i−j)es positivo semi-definido, no soy matemático, ¡así que no puedo explicar esta razón!)
Ernesto

Respuestas:

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Comencemos por representar la suma S utilizando la definición de la función de autocorrelación:

S=∑h=1n−1ρ^(h)=∑h=1n−1(1n∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)1n∑t=1n(Xt−X¯)2)

Denominador no depende de h para que podamos simplificar y mover el frente ∑ al numerador, que nos da:

S=∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)∑t=1n(Xt−X¯)2

Ahora considere el denominador. ¿Cómo representamos para obtener una expresión similar al numerador? ConjuntoYt=Xt−X¯. Entonces∑t=1nYt=0. El denominador aquí es ∑t=1nYt2. Lo sabemos∑t=1nYt2=(∑t=1nYt)2−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h, es decir, restar todos los pares únicos × 2. Porque ∑t=1nYt=0, resulta que ∑t=1nYt2=−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h.

Conectándose de nuevo en términos de X, el denominador se convierte en −2∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯). Then,

S=∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)−2∑h=1n−1∑t=1n−h(Xt−X¯)(Xt+h−X¯)=−12

Hope this helps!

Dilly Minch
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Thank very much, I'll accept this answer in a moment, I just have one final question. Everything is clear to me except this part: ∑t=1nYt2=(∑t=1nYt)2−2∑h=1n−1∑t=1n−hYtYt+h. I don't understand how we are able to include the double summation here, I assume it is a property or identity of the summation?
Ernesto
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To see this, try to expand (∑t=1nYt)2. You get the sum of Yt2, then the rest of the terms are of type YiYj for i≠j, each of which occurs twice in the expansion due to symmetry. Now, the double summation comes from enumerating these pairs in the following way: For Y1, we count Y2,Y3, etc. For Y2, we count Y3,Y4 etc., until we reach Yn−1 for the final pair Yn−1Yn.
Dilly Minch