Prueba de que si existe un momento más alto, también existe un momento más bajo

El momento -ésima de una variable aleatoria es finito si $r$ $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Estoy tratando de mostrar que para cualquier número entero positivo , entonces el -ésimo momento también es finito. $s<r$ $s$ $\mathbb E[|X^s|]$

self-study moments function nona
fuente

¿Es esta tarea? Si es así, ¿qué has probado hasta ahora? Además, he intentado que tu pregunta sea más legible, avísame si he cometido un error.

Gschneider

Leí el libro de texto de Billingsley y busqué en Internet, pero no existe una prueba exacta. Lo que encontré es solo una pista, tal vez se pueda usar la desigualdad de Jensen.

nona

Considere reescribircomoy ver si eso te lleva a alguna parte.

| X^{r} |

$|X^r|$

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$

Gschneider

Hay una diferencia entre un momento existente y ser finito . En particular, puede existir un momento, pero ser infinito. La terminología que te presentan es un poco imprecisa. En cualquier caso, este es un resultado estándar sobre los espacios ; No es cierto que "no exista una prueba exacta". :)

L_{p}

$L_p$

cardenal

Respuestas:

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

StasK
fuente

Multa. También puedes probarlo con la ayuda de la desigualdad de Jensen.

Stéphane Laurent

(+1) Me gusta porque se basa solo en las propiedades más básicas de la expectativa, a saber, la monotonicidad. En caso de que a uno le preocupe qué hacer con el lado derecho, puede notar que . Si uno prefiere una aplicación de Jensen, puede escribir y observar que .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

cardenal

@cardinal: (+1) Prefiero su desigualdad ya que implica directamente ...

| X |^{r}

$|X|^r$

Xi'an