¿Qué variación de estimación usar para una prueba de Wald?

He visto la siguiente justificación para la prueba de Wald de la hipótesis nula para un parámetro escalar . Cuando es el MLE para estimado a partir de una muestra independiente de tamaño , bajo la hipótesis nula tenemos en distribución como , donde es la información esperada para una sola observación, evaluada en . Entonces me parece que deberíamos usar la estadística de prueba$H_0: \theta = \theta_0$$\theta$$\hat{\theta}_n$$\theta$$n$$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right) \rightarrow N\left(0, \dfrac{1}{i(\theta_0)}\right)$$n\rightarrow \infty$$i(\theta_0)$$\theta_0$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0)}}}$

que será aproximadamente para grande . Sin embargo, parece ser más común escribir la estadística de Wald como$N(0,1)$$n$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\hat{\theta}\right)}}},$

es decir, evaluar la información esperada en lugar de en . Mi pregunta es, considerando que necesitamos la distribución del estadístico de prueba debajo de nulo para realizar nuestra prueba de hipótesis, ¿no tiene más sentido tratar de estimar el error estándar debajo de nulo, es decir, estimar por ?$\hat{\theta}$$\theta_0$$s.e.\left(\hat{\theta}\right)$$\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\theta_0 \right)}}$

Cualquiera de los dos enfoques es legítimo, y ambos conducen a la misma distribución nula asintótica de la estadística.

$\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0) \rightarrow_d N(0, i(\theta_0)^{-1})$ implica que para que el teorema de la aplicación continua (CMT) los rendimientos que , siempre que, como es el caso de problemas regulares, que es continua. Luego, nuevamente por la CMT, y los rendimientos del teorema de Slutzky that bajo también.$\hat{\theta}_n \to_p \theta_0$$i(\hat{\theta}_n) \to_p i(\theta_0)$$i$

$$\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta}_n)}}\to_p\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0 )}}$$ $$\dfrac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta})}}}\to_dN(0,1)$$ $H_0$