¿Cómo puedo demostrar que la función de distribución acumulativa es correcta continua?

He aprendido en mis cursos de probabilidad que la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria es correcta continua. ¿Es posible demostrar eso?$F$$X$

Para probar la continuidad correcta de la función de distribución, debe usar la continuidad desde arriba de , que probablemente probó en uno de sus cursos de probabilidad.$P$

Lema Si una secuencia de eventos está disminuyendo, en el sentido de que por cada , entonces , en el que .$\{A_n\}_{n\geq 1}$$A_n\supset A_{n+1}$$n\geq 1$$P(A_n)\downarrow P(A)$$A=\cap_{n=1}^\infty A_n$

Usemos el Lemma. La función de distribución es derecha continua en algún punto si y solo si por cada secuencia decreciente de números reales tal que tenemos .$F$$a$$\{x_n\}_{n\geq 1}$$x_n\downarrow a$$F(x_n)\downarrow F(a)$

Defina los eventos , para . Probaremos que$A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$$n\geq 1$

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

En una dirección, si para cada , dado que , tenemos .$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$$x_n\downarrow a$$X(\omega)\leq a$

En la otra dirección, si , ya que para cada , tenemos , para cada .$X(\omega)\leq a$$a\leq x_n$$n\geq 1$$X(\omega)\leq x_n$$n\geq 1$

Usando el Lema, el resultado sigue:

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$