¿Son dos variables aleatorias normales estándar siempre independientes?

Aprendí que la distribución normal estándar es única porque la media y la varianza se fijan en 0 y 1 respectivamente. Por este hecho, me pregunto si dos variables aleatorias estándar deben ser independientes.

La respuesta es no. Por ejemplo, si es una variable aleatoria estándar, Y = - X sigue las mismas estadísticas, pero X e Y son claramente dependientes.$X$$Y=-X$$X$$Y$

No, no hay razón para creer que dos gaussianos estándar sean independientes.

Aquí hay una construcción matemática simple. Suponga que e Y son dos variables normales estándar independientes. Entonces el par$X$$Y$

son dos variables normales estándar dependientes . Entonces, siempre que sean dos variables normales independientes , debe haber dos dependientes .

La segunda variable es normal porque cualquier combinación lineal de variables normales independientes es nuevamente normal. El está ahí para hacer que la varianza sea igual a1.$\sqrt{2}$$1$

$X$$X = x$

Here's a fairly wide answer:

Let $X,Y$ be jointly Gaussian random variables (i.e. for any $a,b$ real numbers, $a X + bY$ has a Gaussian distribution). Then, $X$ and $Y$ are independent if and only if $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$ (i.e. they are uncorrelated). See these notes, for example, for details.

How can you generate standard normal random variables which are not independent? Pick your favorite matrix of the form $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ such that $(\lambda-1)^2 - p^2$ has positive roots in $\lambda$. Then, apply the Cholesky decompositon to $\Sigma= R R^T$. Then, take two independent standard normal random variables $U,V$ and then the vector $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ has standard normal components, but the components are independent if and only if $p=0$.

A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$.

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$.