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Supongamos que tengo son iid y quiero hacer una prueba de hipótesis de que es 0. Supongamos que tengo una gran ny puedo usar el Teorema del límite central. También podría hacer una prueba de que es 0, que debería ser equivalente a probar que es 0. Además, converge a un chi-cuadrado, donde converge a una normal. Debido a que tiene una tasa de convergencia más rápida, ¿no debería usarla para el estadístico de prueba y así obtendré una tasa de convergencia más rápida y la prueba será más eficiente? $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

Sé que esta lógica está mal, pero he estado pensando y buscando mucho tiempo y no puedo entender por qué.

hypothesis-testing convergence delta-method Xu Wang
fuente

No está claro lo que estás preguntando. ¿Podría explicar en qué sentido la tasa de convergencia de es "más rápida" que la de ? ¿Cómo estás midiendo la tasa? ¿Qué estadísticas de prueba estás usando en las dos pruebas? Claramente, estas elecciones pueden hacer la diferencia.

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

whuber

@whuber gracias por las preguntas. Reclamo "tasa más rápida" porque n es mayor que la raíz cuadrada de n. ¿Es esa intuición incorrecta? Tengo en mente la estadística de prueba X-bar o X-bar al cuadrado.

Xu Wang el

Creo que te estás enfocando en lo incorrecto. Esta tasa le indica qué tan rápido la distribución de muestreo se acerca a la limitante, ya sea Normal normal o . Como es grande, su valor no hace una diferencia práctica, es irrelevante. El problema se refiere al poder de cada prueba, no a qué tan aproximada es la estadística de la prueba a la distribución limitante.

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

whuber

@whuber gracias por estos detalles. He estado pensando en ellos pero todavía no entiendo. ¿Acaso la varianza aproximada de la barra X ^ 2 no será finalmente menor que la varianza aproximada de la barra X? ¿Y no es ese el resultado de que X-bar ^ 2 tenga una tasa de convergencia más alta que X-bar? Lamento no haber visto mis malentendidos fundamentales. Sé que me falta algo grande y espero corregir ese pensamiento.

Xu Wang el

No importa si la varianza aproximada es mayor o menor, porque lo que cuenta es la distribución de la estadística. Para ver esto, considere una prueba t para con vs . La estadística siempre tiene una varianza 100 veces mayor que la de , pero la normalización da como resultado estadísticas de prueba reales distribuidas . En su caso, recuerde que cuadrar una variante da una variante . En el límite, esta transformación significa que las dos pruebas son idénticas en términos de su poder dado un nivel específico.

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

jbowman

Las dos pruebas que describe son equivalentes.

Si tengo dos hipótesis:

H_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

H_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

entonces son equivalentes a

H_{0} : μ^{2} = 0

$H_0: \mu^2=0$

H_{1} : μ^{2} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

Si se sabe que los datos son normales, la media la muestra también será Normal con media y varianza (que puede ser conocida o desconocida). $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

Si no se sabe que los datos son normales, puede usar el teorema del límite central y lo anterior será verdadero asintóticamente. Afirmas que $\bar{X}^2$ $\bar{X}$ $n$

P (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2} - μ^{2} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

$\bar{X}$ $\chi^2$

JDL
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