¿Cuál es la probabilidad de sacar un cuatro de un tipo cuando se sacan 20 cartas de un mazo de 52?

Ayer mis compañeros de casa y yo estábamos jugando juegos de cartas y alguien hizo esta pregunta. Intentamos resolver el problema, pero no pudimos resolverlo. Esta mañana me desperté y todavía me pregunto cómo resolverlo. ¿Podrías ayudarme por favor?

Hay 13 tipos, por lo que podemos resolver el problema para un solo tipo y luego avanzar desde allí.

La pregunta es, entonces, ¿cuál es la probabilidad de sacar 4 éxitos (como reyes) en 20 muestras de la misma distribución de 4 éxitos (reyes) y 48 fracasos sin reemplazo?

La distribución hipergeométrica (wikipedia) nos da la respuesta a esta pregunta, y es 1.8%.

Si un amigo apuesta por obtener 4 reyes y otro apuesta por obtener cuatro reinas, ambos tienen un 1,8% de posibilidades de ganar. Necesitamos saber cuánto se superponen las dos apuestas para poder decir cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas gane.

La superposición de ambos ganadores es similar a la primera pregunta, a saber: ¿cuál es la probabilidad de sacar 8 éxitos (reyes y reinas) en 20 muestras de una distribución de 8 éxitos (reyes y reinas) y 44 fracasos, sin reemplazo?

La respuesta es nuevamente hipegeométrica, y según mis cálculos es 0.017%.

Entonces, la probabilidad de que al menos uno de los dos amigos gane es 1.8% + 1.8% - 0.017% = 3.6%

Al continuar con esta línea de razonamiento, la parte fácil es sumar las probabilidades para los tipos individuales (13 * 1.8% = 23.4%), y la parte difícil es determinar cuánto se superponen estos 13 escenarios.

La probabilidad de obtener 4 reyes o 4 reinas o 4 ases es la suma de obtener cada cuatro de un tipo menos la superposición de ellos. La superposición consiste en obtener 4 reyes y 4 reinas (pero no 4 ases), obtener 4 reyes y 4 ases (pero no 4 reinas), obtener 4 reinas y 4 ases (pero no 4 reyes) y obtener 4 reyes y 4 reinas y 4 ases.

Aquí es donde me resulta muy difícil continuar, pero de esta manera con la fórmula hipergeométrica en wikipedia, puedes seguir adelante y escribirlo todo.

¿Quizás alguien puede ayudarnos a reducir el problema?

$k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ para$0\leq k\leq5.$

Por el principio de inclusión-exclusión, la probabilidad de sacar al menos un cuatro de un tipo es, por lo tanto, igual a

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

Esto se puede calcular numéricamente para ser aproximadamente$0.2197706.$

La suma anterior tiene la forma si restamos el término después , ya que los términos para son iguales a cero. Me pregunto si hay una manera de simplificar ese tipo de suma.$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$