Variables del instrumento y restricción de exclusión desde una perspectiva de mediación

Tengo problemas para entender la restricción de exclusión en variables instrumentales.

Entiendo que el efecto de tratamiento imparcial es , donde es el resultado, es el tratamiento y es el instrumento. En otras palabras, B = \ frac {ITT} {\ text {Cuota de cumplimiento}} .$B = \frac{Cov(Y, Z)}{Cov(S, Z)}$$Y$$S$$Z$$B = \frac{ITT} {\text{Compliance Rate}}$

Sin embargo, si pienso en esto en un marco de mediación y aplico la restricción de exclusión, esto tiene cada vez menos sentido.

En un marco de mediación, ITT = el efecto total, o el $Cov(S,Z)\cdot Cov(Y,S) + Cov(Y,Z|S)$ . Entonces, el efecto de tratamiento imparcial es:

$\frac{(Cov(S,Z)\cdot Cov(Y,S) + Cov(Y,Z|S))}{Cov(S,Z)}$ , que se reduce a:

$Cov(Y,S) + \frac{Cov(Y, Z|S)}{Cov(S, Z)}$ ,

por lo tanto, la estimación causal imparcial es el efecto del tratamiento sesgado + el efecto del instrumento ( $\frac{controlling for the treatment} { compliance rate}$ .

Sin embargo, con la restricción de exclusión, no se supone que haya un efecto del instrumento una vez que controlemos el tratamiento.

Un ejemplo, del ejemplo de Sesman Street de Gelman. Primero, obtener el efecto de tratamiento imparcial a través de 2SLS:

fit.2s <- lm(regular ~ encour, data = df)
watched.hat <- fit.2s$fitted
fit.2b <- lm(postlet ~ watched.hat, data = df)
summary(fit.2b)

lo que da la respuesta, 7.934.

Y ahora, dentro de un marco SEM:

library(foreign)
library(lavaan)
mod  <-
'
regular ~ a*encour
postlet ~ b*regular + c*encour
ind := a*b
total := a*b + c
'
fit <- sem(mod, data = df)
summary(fit)

 Regressions:
               Estimate  Std.Err  Z-value  P(>|z|)
  regular ~                                           
encour     (a)    0.362    0.051    7.134    0.000

  postlet ~                                           
  regular    (b)   13.698    2.079    6.589    0.000
  encour     (c)   -2.089    1.802   -1.160    0.246


  Defined Parameters:
               Estimate  Std.Err  Z-value  P(>|z|)
  ind               4.965    1.026    4.840    0.000
  total             2.876    1.778    1.617    0.106

13.698 - 2.089 / .362 = 7.92

Por lo tanto, la única razón por la que el efecto de tratamiento imparcial no es solo el efecto de tratamiento sesgado es porque todavía hay un efecto del instrumento cuando se controla el tratamiento, lo que, de acuerdo con la restricción de exclusión, no debería suceder.

¿Me estoy perdiendo de algo?

Usted afirma correctamente que, bajo las suposiciones IV tardías con un efecto causal de la IV Z sobre el tratamiento S, el instrumento exógeno y sin efecto directo sobre el resultado Y, su efecto de tratamiento B de S sobre Y se identifica como

$Cov(Y,Z)/Cov(S,Z) = ITT/Compliance Rate$

Tan claramente

$ITT = Cov(Y, Z)$ ,

y no , como erróneamente. Esto también es intuitivamente claro porque si el instrumento es exógeno con respecto al tratamiento y al resultado, se identifican sus efectos causales y (bajo linealidad) son simplemente la correlación entre el instrumento y el resultado.$Cov(S,Z)⋅Cov(Y,S)+Cov(Y,Z)$

Además, parece implicar que el IV y el Y no deben estar relacionados en una regresión de Y sobre el tratamiento y el IV. Este no es el caso si el tratamiento S es realmente endógeno. Entonces, es un colisionador, ya que es causado por el IV y el término de error no observado de Y. El condicionamiento del tratamiento hace que el IV y el término de error sean dependientes, y por lo tanto también el IV y el Y. Entonces obtienes un valor distinto de cero coeficiente de regresión incluso si la restricción de exclusión es válida. Esto debería quedar muy claro si dibuja el gráfico causal.

Si no fuera el caso, podríamos probar la restricción de exclusión, ¡pero por supuesto sabemos que generalmente no podemos probarla! (Al menos no tan fácilmente).