La definición de splines cúbicos naturales para regresión

Estoy aprendiendo sobre splines del libro "Los elementos de la minería de datos estadísticos de aprendizaje, inferencia y predicción" de Hastie et al. En la página 145 descubrí que las estrías cúbicas naturales son lineales más allá de los nudos de límite. Hay $K$ nudos, en las splines y se da lo siguiente sobre dicha spline en el libro.$\xi_1, \xi_2, ... \xi_K$

Pregunta 1: ¿Cómo se liberan 4 grados de libertad? No entiendo esta parte.

Pregunta 2 : En la definición de cuando entonces . ¿Qué intenta hacer el autor en esta fórmula? ¿Cómo ayuda esto a asegurarse de que las splines sean lineales más allá de los nudos límite?$d_k(X)$$k=K$$d_K(X) = \frac 0 0$

1. Comencemos considerando las splines cúbicas ordinarias. Son cúbicos entre cada par de nudos y cúbicos fuera de los nudos límite. Comenzamos con 4df para el primer cúbico (a la izquierda del primer nudo límite), y cada nudo agrega un nuevo parámetro (porque la continuidad de las splines cúbicas y las derivadas y las segundas derivadas agrega tres restricciones, dejando un parámetro libre), haciendo un total de Parámetros para K nudos.$K+4$$K$

   Una spline cúbica natural es lineal en ambos extremos. Esto limita las piezas cúbicas y cuadráticas allí a 0, cada reducción de la df por 1. Eso es 2 df en cada uno de dos extremos de la curva, la reducción de a K .$K+4$$K$

   Imagine que decide que puede gastar un número total de grados de libertad ( , por ejemplo) en su estimación de curva no paramétrica. Dado que la imposición de una spline natural usa 4 grados menos de libertad que una spline cúbica ordinaria (para el mismo número de nudos), con esos parámetros p puede tener 4 nudos más (y 4 parámetros más) para modelar la curva entre los nudos de límite .$p$$p$

2. Obsérvese que la definición de es para k = 1 , 2 , . . . , K - 2 (ya que hay K funciones básicas en todos). Entonces, la última función básica en esa lista, N K = d K - 2 - d K - 1 . Entonces, la k más alta necesaria para las definiciones de d k es para k = K - $N_{k+2}$$k=1,2,...,K-2$$K$$N_{K}=d_{K-2}-d_{K-1}$$k$$d_k$$k=K-1$. (Es decir, no necesitamos tratar de averiguar qué podría hacer , ya que no lo usamos).$d_K$

$2$$\xi_1, \xi_2$$]-\infty, \xi_1[$$]\xi_1, \xi_2[$$]\xi_2, +\infty[$$|I|=3$$|I|-1=2$ nudos)

Para splines cúbicas (comunes)

Sin restricciones de regularidad, tenemos ecuaciones:$4|I|=12$

1 ( ξ 1 ≤ X < ξ 2 ) ; 1 ( ξ 1 ≤ X < ξ 2 ) X ;

$$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^2~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^3~~;$$ 1 ( ξ 2 ≤ X ) ; 1 ( ξ 2 ≤ X ) X ; 1 ( ξ 2 ≤ X ) X 2 ; 1 ( ξ 2 ≤ X ) X $$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$$ $$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^3.$$

$\mathcal{C}^r$$r=2$$(r+1)\times(|I|-1) = 3\times(|I|-1) = 6$

$12-6=6$

Para splines cúbicos naturales

"Un splines cúbicos naturales agrega restricciones adicionales, es decir, que la función es lineal más allá de los nudos de límite".

$4|I|-4=12-4$$4$$2$

$$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~$$ $$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$$ $$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X.$$

$3\times(|I|-1) = 6$

$8-6=2$