Probabilidad de que puntos aleatorios uniformes en un rectángulo tengan una distancia euclidiana menor que un umbral dado

Supongamos que tenemos puntos en un rectangular con límite , y estos puntos están distribuidos uniformemente en este plano. (No estoy muy familiarizado con las estadísticas, así que no sé la diferencia entre elegir uniformemente un nodo en el área , o elegir uniformemente el eje de y eje x de independientemente).$n$$[0,a] \times [0,b]$$[0,a] \times [0,b]$$x$$[0,a]$$y$$[0,b]$

Dado un umbral de distancia , es posible que desee saber la probabilidad de que la distancia euclidiana de dos puntos sea menor que , o más precisamente, ¿cuántos pares de nodos serán menores que ?$d$$d$$d$

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Tal vez la siguiente descripción sería inequívoca.

Déjame especificar este problema. Dados nodos y umbral . Estos puntos están distribuidos uniformemente en un rectángulo . Denota una variable aleatoria como el número de pares de puntos dentro de la distancia . Encuentra .$n$$d$$n$$[0,a] \times [0,b]$$\xi$$d$$E[\xi]$

Podemos resolver este problema analíticamente usando alguna intuición geométrica y argumentos . Desafortunadamente, la respuesta es bastante larga y un poco desordenada.

Configuración básica

Primero, expongamos alguna notación. Supongamos que dibujamos puntos al azar uniformemente desde el rectángulo . Suponemos sin pérdida de generalidad que . Deje que sean las coordenadas del primer punto y las coordenadas del segundo punto. Entonces, , , e son mutuamente independientes con distribuido uniformemente en e distribuido uniformemente en .$[0,a] \times [0,b]$$0 < b < a$$(X_1,Y_1)$$(X_2,Y_2)$$X_1$$X_2$$Y_1$$Y_2$$X_i$$[0,a]$$Y_i$$[0,b]$

Considere la distancia euclidiana entre los dos puntos. Esto es dondey.

$$D = \sqrt{(X_1-X_2)^2 + (Y_1-Y_2)^2} =: \sqrt{ Z_1^2 + Z_2^2} \> ,$$ $Z_1 = |X_1-X_2|$$Z_2 = |Y_1-Y_2|$

Distribuciones triangulares

Como y son uniformes independientes, entonces tiene una distribución triangular, de dondetiene una distribución con función de densidad La función de distribución correspondiente es para . Del mismo modo,tiene densidad y función de distribución .$X_1$$X_2$$X_1 - X_2$$Z_1 = |X_1 - X_2|$

$$f_a(z_1) = \frac{2}{a^2}(a-z_1) ,\quad 0 < z_1 < a \> .$$ $F_a(z_1) = 1 - (1-z_1/a)^2$$0 \leq z_1 \leq a$$Z_2 = |Y_1 - Y_2|$$f_b(z_2)$$F_b(z_2)$

Tenga en cuenta que dado que es una función solo de los dos y es solo una función de , y son independientes. Entonces, la distancia entre los puntos es la norma euclidiana de dos variables aleatorias independientes (con diferentes distribuciones).$Z_1$$X_i$$Z_2$$Y_i$$Z_1$$Z_2$

El panel izquierdo de la figura muestra la distribución de y el panel derecho muestradonde en este ejemplo.$X_1 - X_2$$Z_1 = |X_1 - X_2|$$a = 5$

Alguna probabilidad geométrica

Por lo tanto, y son independientes y se admiten en y respectivamente. Para fijo , la función de distribución de la distancia euclidiana es $Z_1$$Z_2$$[0,a]$$[0,b]$$d$

$$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\newcommand{\rd}{\,\mathrm{d}} \Pr(D \leq d) = \iint_{\{z_1^2+z_2^2 \leq d^2\}} f_a(z_1) f_b(z_2) \rd z_1 \rd z_2 \> .$$

Podemos pensar en esto geométricamente como una distribución en el rectángulo y considerando un cuarto de círculo de radio . Nos gustaría saber la probabilidad que hay dentro de la intersección de estas dos regiones. Hay tres posibilidades diferentes a considerar:$[0,a] \times [0,b]$$d$

Región 1 (naranja): . Aquí el cuarto de círculo se encuentra completamente dentro del rectángulo.$0 \leq d < b$

Región 2 (rojo): . Aquí el cuarto de círculo intersecta el rectángulo a lo largo de los bordes superior e inferior.$b \leq d \leq a$

Región 3 (azul): . El cuarto de círculo intersecta el rectángulo a lo largo de los bordes superior y derecho.$a < d \leq \sqrt{a^2 + b^2}$

Aquí hay una figura, donde dibujamos un radio de ejemplo de cada uno de los tres tipos. El rectángulo está definido por , . El mapa de calor en escala de grises dentro del rectángulo muestra la densidad donde las áreas oscuras tienen mayor densidad y las áreas más claras tienen menor densidad. Al hacer clic en la figura, se abrirá una versión más grande de la misma.$a = 5$$b = 4$$f_a(z_1) f_b(z_2) \rd z_1 \rd z_2$

Un cálculo feo

Para calcular las probabilidades, necesitamos hacer algunos cálculos. Consideremos cada una de las regiones a su vez y veremos que surgirá una integral común. Esta integral tiene una forma cerrada, aunque no es muy bonita.

Región 1 : .$0 \leq d < b$

$$\newcommand{\radius}{\sqrt{d^2 - y^2}} \Pr(D \leq d) = \int_0^d \int_0^{\radius} f_b(y) f_a(x) \rd x \rd y = \int_0^d f_b(y) \int_0^{\radius} f_a(x) \rd x \rd y \>.$$

Ahora, la integral interna produce . Entonces, nos queda calcular una integral de la forma donde en este caso de interés . La antiderivada del integrando es $\frac{1}{a^2}\radius (2 a - \radius)$

$$G(c) - G(0) = \int_0^c (b - y) \radius (2a - \radius) \rd y \> ,$$ $c = d$ $$\begin{align*} G(y) &= \int (b - y) \radius (2a - \radius) \rd y \\ &= \frac{a}{3} \radius ( y (3 b - 2 y) + 2 d^2) \\ &\quad + \,a b d^2 \tan^{-1}\Big(\frac{y}{{\scriptstyle \radius}}\Big) - b d^2 y \\ &\quad + \,\frac{b y^3}{3} + \frac{(d y)^2}{2} - \frac{y^4}{4} \> . \end{align*}$$

De esto obtenemos que .$\Pr(D \leq d) = \frac{2}{a^2 b^2} (G(d) - G(0))$

Región 2 : .$b \leq d \leq a$

$$\Pr(D \leq d) = \frac{2}{a^2 b^2} (G(b) - G(0)) \>,$$ por el mismo razonamiento que para la Región 1, excepto que ahora debemos integrar a lo largo del eje hasta lugar de solo .$y$$b$$d$

Región 3 : . $a < d \leq \sqrt{a^2 + b^2}$

$$\begin{align*} \Pr(D \leq d) &= \int_0^\sqrt{d^2-a^2} f_b(y)\rd y + \int_{\sqrt{d^2-a^2}}^b f_b(y) \int_{0}^\radius f_a(x) \rd x \rd y \\ &= F_b(\sqrt{d^2-a^2}) + \frac{2}{a^2 b^2} (G(b) - G(\sqrt{d^2-a^2})) \end{align*}$$

A continuación se muestra una simulación de 20000 puntos donde graficamos la distribución empírica como puntos grises y la distribución teórica como una línea, coloreada de acuerdo con la región particular que se aplica.

A partir de la misma simulación, a continuación trazamos los primeros 100 pares de puntos y dibujamos líneas entre ellos. Cada uno está coloreado de acuerdo con la distancia entre el par de puntos y en qué región cae esta distancia.

El número esperado de pares de puntos dentro de la distancia es simplemente por linealidad de expectativa.$d$

$$\mathbb E[\xi] = {n \choose 2} \Pr(D \leq d) \>,$$

Si los puntos están verdaderamente distribuidos uniformemente, es decir, en un patrón conocido fijo, entonces, para cualquier distancia d, simplemente puede recorrer todos los pares y contar los que están dentro de la distancia. Su probabilidad es (ese número / n).

Si tiene la libertad adicional de elegir cómo se distribuyen / seleccionan los n puntos, entonces esta es la versión rectangular de la paradoja de Bertrand . Esa página muestra varias formas de responder a esta pregunta en función de cómo distribuye sus puntos.