Dado que el error estándar de una regresión lineal generalmente se da para la variable de respuesta, me pregunto cómo obtener intervalos de confianza en la otra dirección, por ejemplo, para una intersección x. Puedo visualizar lo que podría ser, pero estoy seguro de que debe haber una forma directa de hacerlo. A continuación se muestra un ejemplo en R de cómo visualizar esto:

set.seed(1)
x <- 1:10
a <- 20
b <- -2
y <- a + b*x + rnorm(length(x), mean=0, sd=1)

fit <- lm(y ~ x)
XINT <- -coef(fit)[1]/coef(fit)[2]

plot(y ~ x, xlim=c(0, XINT*1.1), ylim=c(-2,max(y)))
abline(h=0, lty=2, col=8); abline(fit, col=2)
points(XINT, 0, col=4, pch=4)
newdat <- data.frame(x=seq(-2,12,len=1000))

# CI
pred <- predict(fit, newdata=newdat, se.fit = TRUE) 
newdat$yplus <-pred$fit + 1.96*pred$se.fit 
newdat$yminus <-pred$fit - 1.96*pred$se.fit 
lines(yplus ~ x, newdat, col=2, lty=2)
lines(yminus ~ x, newdat, col=2, lty=2)

# approximate CI of XINT
lwr <- newdat$x[which.min((newdat$yminus-0)^2)]
upr <- newdat$x[which.min((newdat$yplus-0)^2)]
abline(v=c(lwr, upr), lty=3, col=4)

¿Cómo calcular el intervalo de confianza de la intersección x en una regresión lineal?

Suposiciones

• $y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$
• $\epsilon | X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I_n)$
• Ajuste usando el mínimo cuadrado ordinario

3 procedimientos para calcular el intervalo de confianza en la intersección x

• Expansión Taylor (fácil de usar)
• Marc en el método de caja (MIB)
• CAPITANI-POLLASTRI ( https://boa.unimib.it/retrieve/handle/10281/43053/64388/DECAPITANI_Pollastri.pdf )

Expansión Taylor de primer orden

$Y=aX+b$$\sigma_a$$\sigma_b$$a$$b$$\sigma_{ab}$

$\sigma_X$$X$

MIB

Ver el código de Marc en el cuadro de ¿Cómo calcular el intervalo de confianza de la intersección x en una regresión lineal? .

CAPITANI-POLLASTRI

CAPITANI-POLLASTRI proporciona la función de distribución acumulativa y la función de densidad para la relación de dos variables aleatorias normales correlacionadas. Se puede usar para calcular el intervalo de confianza de la intersección x en una regresión lineal. Este procedimiento da resultados (casi) idénticos a los de MIB.

$\hat\beta \sim \mathcal{N}(\beta, \sigma^2 (X^TX)^{-1})$$\hat{\beta}$

El procedimiento es el siguiente:

• $a$$b$
• $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_{ab}=\rho\sigma_a\sigma_b$
• $a$$b$$\mathcal{N}(a, b, \sigma_a, \sigma_b, \rho)$$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$
• $x_{intercept}= \frac{-b}{a}$

Comparación de los 3 procedimientos.

Los procedimientos se comparan utilizando la siguiente configuración de datos:

• x <- 1:10
• a <- 20
• b <- -2
• y <- a + b * x + rnorm (longitud (x), media = 0, sd = 1)

Se generan y analizan 10000 muestras diferentes utilizando los 3 métodos. El código (R) utilizado para generar y analizar se puede encontrar en: https://github.com/adrienrenaud/stackExchange/blob/master/crossValidated/q221630/answer.ipynb

• MIB y CAPITANI-POLLASTRI dan resultados equivalentes.
• La expansión de Taylor de primer orden difiere significativamente de los otros dos métodos.
• MIB y CAPITANI-POLLASTRI padecen una cobertura insuficiente. Se encuentra que el 68% (95%) ci contiene el valor verdadero 63% (92%) del tiempo.
• La expansión de Taylor de primer orden sufre una sobrecobertura. Se encuentra que el 68% (95%) ci contiene el valor verdadero 87% (99%) del tiempo.

Conclusiones

La distribución de intersección x es asimétrica. Justifica un intervalo de confianza asimétrico. MIB y CAPITANI-POLLASTRI dan resultados equivalentes. CAPITANI-POLLASTRI tiene una buena justificación teórica y da motivos para MIB. MIB y CAPITANI-POLLASTRI padecen una cobertura insuficiente moderada y pueden usarse para establecer intervalos de confianza.

Yo recomendaría arrancar los residuos:

library(boot)

set.seed(42)
sims <- boot(residuals(fit), function(r, i, d = data.frame(x, y), yhat = fitted(fit)) {

  d$y <- yhat + r[i]

  fitb <- lm(y ~ x, data = d)

  -coef(fitb)[1]/coef(fitb)[2]
}, R = 1e4)
lines(quantile(sims$t, c(0.025, 0.975)), c(0, 0), col = "blue")

Lo que muestra en el gráfico son los puntos donde el límite inferior / superior de la banda de confianza de las predicciones cruza el eje. No creo que estos sean los límites de confianza de la intercepción, pero tal vez sean una aproximación aproximada.