¿Son una suma y un producto de dos matrices de covarianza también una matriz de covarianza?

Supongamos que tengo covarianza matrices y Y . ¿Cuáles de estas opciones son también matrices de covarianza?$X$$Y$

1. $X+Y$
2. $X^2$
3. $XY$

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Tengo algunos problemas para comprender qué se necesita exactamente para que algo sea una matriz de covarianza. Supongo que significa que, por ejemplo, si e Y = cov ( Y 1 , Y 2 ) que para que 1 sea verdadero, deberíamos tener ese cov ( X 1 , X 2 ) + cov ( Y 1 , Y 2 ) = cov ( Z 1$X=\operatorname{cov}(X_1,X_2)$$Y=\operatorname{cov}(Y_1,Y_2)$ , donde Z 1 y Z 2 son algunas otras variables aleatorias. Sin embargo, no puedo ver por qué eso sería válido para cualquiera de las tres opciones. Cualquier idea sería apreciada.$\operatorname{cov}(X_1,X_2) + \operatorname{cov}(Y_1,Y_2) = \operatorname{cov}(Z_1, Z_2)$$Z_1$$Z_2$

Antecedentes

Una matriz de covarianza para un vector de variables aleatorias X = ( X 1 , X 2 , ... , X n ) 'representa un procedimiento para calcular la varianza de cualquier combinación lineal de esas variables aleatorias. La regla es que para cualquier vector de coeficientes λ = ( λ 1 , ... , λ n ) ,$\mathbb{A}$$X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)^\prime$$\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

$$\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.\tag{1}$$

En otras palabras, las reglas de multiplicación de matrices describen las reglas de varianzas.

Dos propiedades de son inmediatas y obvias:$\mathbb{A}$

1. Debido a que las variaciones son expectativas de valores al cuadrado, nunca pueden ser negativas. Por lo tanto, para todos los vectores , 0 ≤ Var ( λ X ) = λ A λ ′ . Las matrices de covarianza deben ser definidas no negativas.$\lambda$

   $$0 \le \operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.$$

2. Las variaciones son solo números, o, si lee las fórmulas de la matriz literalmente, son matrices . Por lo tanto, no cambian cuando los transpone. La transposición ( 1 ) da λ A λ ′ = Var ( λ X ) = Var ( λ X ) ′ = ( λ A λ ′ ) ′ = λ A ′ λ ′ . Como esto es válido para todos λ , $1\times 1$$(1)$

   $$\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime = \operatorname{Var}(\lambda X) = \operatorname{Var}(\lambda X) ^\prime = \left(\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime\right)^\prime = \lambda \mathbb{A}^\prime \lambda ^\prime.$$ $\lambda$$\mathbb{A}$debe ser igual a su transposición : las matrices de covarianza deben ser simétricas.$\mathbb{A}^\prime$

El resultado más profundo es que cualquier matriz simétrica definida no negativa es una matriz de covarianza. $\mathbb{A}$ Esto significa que en realidad hay una variable aleatoria con valor vectorial con A como covarianza. Podemos demostrar esto mediante la construcción explícita X . Una forma es notar que la función de densidad (multivariante) f ( x 1 , … , x n ) con el registro de propiedades ( f ) ∝ - $X$$\mathbb{A}$$X$$f(x_1,\ldots, x_n)$

$$\log(f) \propto -\frac{1}{2} (x_1,\ldots,x_n)\mathbb{A}^{-1}(x_1,\ldots,x_n)^\prime$$ $\mathbb{A}$$\mathbb{A}$

Soluciones

$\mathbb{X}$$\mathbb{Y}$

1. La suma.

   • $$(\mathbb{X}+\mathbb{Y})^\prime = \mathbb{X}^\prime + \mathbb{Y}^\prime = (\mathbb{X} + \mathbb{Y})$$
   • $\lambda$ $$\lambda(\mathbb{X}+\mathbb{Y})\lambda^\prime = \lambda \mathbb{X}\lambda^\prime + \lambda \mathbb{Y}\lambda^\prime \ge 0 + 0 = 0$$

2. Lo dejo como ejercicio.

3. $2\times 2$

   $$\pmatrix{a & b \\ b & a}$$ $a^2 \ge b^2$$a \ge 0$$\mathbb{XY}$ $$\mathbb{X} = \pmatrix{a & -1 \\ -1 & a}$$ $a \ge 1$$\mathbb{Y}$ $$\mathbb{Y} = \pmatrix{b & 0 \\ 0 & 1}$$ $b\ge 0$$-1$$1$

   $\mathbb{XY}$$a$$b$

Una matriz real es una matriz de covarianza si y solo si es simétrica positiva semi-definida.

Consejos:

$X$$Y$$X+Y$$z^TX z \ge 0$$z$$z^TY z \ge 0$$z$$z^T(X+Y)z$

$X$$X^2$$X$$X^2$

$X$$Y$$XY$