¿Cuál es la diferencia entre imparcialidad asintótica y consistencia?

¿Cada uno implica al otro? Si no, ¿implica uno el otro? ¿Por qué por qué no?

Este problema surgió en respuesta a un comentario sobre una respuesta que publiqué aquí .

Aunque la búsqueda en Google de los términos relevantes no produjo nada que pareciera particularmente útil, noté una respuesta en el intercambio de pila matemática. Sin embargo, pensé que esta pregunta también era apropiada para este sitio.

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En relación con la respuesta math.stackexchange, busqué algo más en profundidad, cubriendo algunos de los problemas tratados en el hilo de comentarios @whuber vinculado . Además, tal como lo veo, la pregunta math.stackexchange muestra que la coherencia no implica asintóticamente imparcialidad, pero no explica mucho, si es que algo, sobre por qué. El OP también da por sentado que la imparcialidad asintótica no implica coherencia y, por lo tanto, el único respondedor hasta ahora no aborda por qué esto es así.

$\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

Intuitivamente, no estoy de acuerdo: "imparcialidad" es un término que primero aprendemos en relación con una distribución (muestra finita). Parece entonces más natural considerar la "imparcialidad asintótica" en relación con una distribución asintótica . Y, de hecho, esto es lo que hacen Lehmann y Casella en "Theory of Point Estimation (1998, 2nd ed) , p. 438 Definición 2.1 (notación simplificada):

$$\text{If} \;\;\;k_n(\hat \theta_n - \theta )\to_d H$$

para alguna secuencia y para alguna variable aleatoria , el estimador es asintóticamente imparcial si el valor esperado de es cero.$k_n$$H$$\hat \theta_n$$H$

Dada esta definición, podemos argumentar que la consistencia implica imparcialidad asintótica ya que

... y la distribución degenerada que es igual a cero tiene un valor esperado igual a cero (aquí la secuencia es una secuencia de unos). $k_n$

Pero sospecho que esto no es realmente útil, es solo un subproducto de una definición de imparcialidad asintótica que permite variables aleatorias degeneradas. Esencialmente, nos gustaría saber si, si tuviéramos una expresión que involucrara al estimador que converge a un rv no degenerado, la consistencia aún implicaría imparcialidad asintótica.

Anteriormente en el libro (p. 431 Definición 1.2), los autores llaman a la propiedad como " imparcialidad en el límite ", y no coincidir con imparcialidad asintótica.$\lim_{n\to \infty} E(\hat \theta_n-\theta) = 0$

La imparcialidad en el límite es suficiente (pero no necesaria) para la coherencia bajo la condición adicional de que la secuencia de las variaciones del estimador llegue a cero (lo que implica que la varianza existe en primer lugar).

Para conocer las complejidades relacionadas con la concisión con una varianza distinta de cero (un poco alucinante), visite esta publicación .