¿Habrá alguna vez un Tribble infeliz en Oz?

Aquí hay un problema divertido que me trajo un estudiante. Aunque originalmente fue redactado en términos de balas aniquiladas mutuamente disparadas a intervalos regulares por un arma, pensé que podría disfrutar de una presentación más pacífica.

En el mundo infinito y plano de Oz, el camino de ladrillos amarillos comienza en el centro de la Ciudad Esmeralda, se desenrolla a través del campo y continúa para siempre sin cruzarse. Al mediodía cada día, un Tribble hermafrodita joven y lujuriosa comienza a rodar a lo largo de este camino desde su origen a una velocidad elegida de manera uniforme al azar de hasta un kilómetro por día. A lo largo de su viaje seguirá rodando a la misma velocidad, sin parar nunca. Pero si alguna vez un Tribble supera a otro en el camino, cada uno reconoce instantáneamente a su alma gemela y los dos se dejan a un lado (presumiblemente para reproducirse y eventualmente suministrar más Tribbles en casa).

Como saben, estos emparejamientos ocurren a menudo, porque la posibilidad de que dos Tribbles rueden exactamente a la misma velocidad es cero. ¡Oh, felices Tribbles! ¿Pero se garantiza que la vida será buena para todos?

¿Cuál es la posibilidad de que al menos un Tribble continúe para siempre, nunca superando o siendo superado?

probability stochastic-processes puzzle whuber
fuente

¿Asume esto que Tribbles comenzó a viajar en un punto de tiempo particular (de modo que hubo Tribble # 1) y continúa para siempre desde entonces, y la probabilidad debe calcularse en este lapso de tiempo infinito?

ameba dice Reinstate Monica

@amoeba Si encuentra una diferencia suponer que hubo un tiempo de inicio definido, entonces sería muy interesante analizar esa diferencia.

whuber

math.stackexchange.com/questions/1526292/colliding-bullets

Alex R.

Tribbles en Oz? Tus universos ficticios parecen un poco confusos.

Kodiólogo

@Kodio Ambos universos son bien conocidos por cruzarse con otros universos :-).

whuber

Respuestas:

Editar: Parece que he confundido la idea de probabilidad positiva y probabilidad 1. La afirmación probada aquí es mucho más débil de lo que esperaba.

Intuitivamente, la respuesta es 0. No es difícil demostrar que

Cualquier Tribble dado, con probabilidad positiva, eventualmente obtiene un compañero.

Pero creo que esto podría no ser suficiente para implicar que con probabilidad positiva, cada tribble finalmente obtiene un compañero, según la paradoja de Zeno.

Aquí hay una prueba de la declaración citada. Primero, reemplacemos el problema con una formulación alternativa más simple de la siguiente manera. Hay una pila que comienza vacía. Una computadora dibuja variantes aleatorias en secuencia de forma independiente y uniforme desde [0, 1]. Cada vez que se dibuja un valor, la pila cambia.

Si la pila está vacía, o el elemento superior de la pila tiene un valor mayor, entonces se agrega un nuevo elemento con el nuevo valor. (Se ha creado una viñeta más lenta que la última viñeta o una Tribble más lenta que la última Tribble).
De lo contrario, se elimina el elemento superior. (Las balas o Tribbles chocan).

(Esta formulación no incluye el evento de una bala o Tribble más rápido que el anterior creado pero luego destruido antes de que golpee al anterior, pero tal evento deja la pila igual, por lo que no tiene ninguna consecuencia).

$1$ $I_0$ $v_0$ $k$ $I_0$ $v_1,\; v_2,\; …,\; v_k$ $v_k$ $k + 1$ $(v_k, 1)$ $(v_{k-1}, 1)$ $(v_0, 1)$ $I_0$ $(1 - v_k)(1 - v_{k-1})\cdots(1 - v_0)$

Kodiólogo
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