Intervalo de confianza basado en Bootstrap

Mientras estudiaba el intervalo de confianza basado en bootstrap, una vez leí la siguiente declaración:

Si la distribución de bootstrap está sesgada hacia la derecha, el intervalo de confianza basado en bootstrap incorpora una corrección para mover los puntos finales aún más hacia la derecha; Esto puede parecer contradictorio, pero es la acción correcta.

Estoy tratando de entender la lógica subyacente a la declaración anterior.

La pregunta está relacionada con la construcción fundamental de los intervalos de confianza, y cuando se trata de bootstrapping, la respuesta depende del método de bootstrapping que se utilice.

Considere la siguiente es un estimador de un parámetro de valor real θ con (un estimado) desviación estándar SE , entonces un intervalo estándar 95% de confianza basado en una normal de N ( θ , se 2 ) aproximación es θ ± 1,96 SE . Este intervalo de confianza se deriva como el conjunto de θ 's que cumplir z 1 ≤ θ - θ ≤ z 2 donde z 1 = - 1,96 $\hat{\theta}$$\theta$$\text{se}$$N(\theta, \text{se}^2)$

$$\hat{\theta} \pm 1.96 \text{se}.$$ $\theta$ $$z_{1} \leq \hat{\theta} - \theta \leq z_2$$ $z_1 = -1.96\text{se}$es el cuantil del 2.5% y es el cuantil del 97.5% para la distribución N ( 0 , se 2 ) . La observación interesante es que cuando la reordenación de las desigualdades obtenemos el intervalo de confianza expresada como { θ | θ - z 2 ≤ θ ≤ θ - z 1 } = [ θ - z 2 , θ - z 1 ] $z_2 = 1.96\text{se}$$N(0, \text{se}^2)$ $$\{\theta \mid \hat{\theta} - z_2 \leq \theta \leq \hat{\theta} - z_1 \} = [\hat{\theta} - z_2, \hat{\theta} - z_1].$$ Es decir, es el cuantil inferior del 2.5% que determina el punto final derecho y el cuantil superior del 97.5% que determina el punto final izquierdo .

Si la distribución de muestreo de θ derecho está sesgada en comparación con la aproximación normal, lo que es entonces la acción apropiada? Si sesgado a la derecha significa que el 97.5% cuantil para la distribución de muestreo es z 2 > 1.96 se , la acción apropiada es mover el punto final izquierdo más hacia la izquierda. Es decir, si nos atenemos a la construcción estándar anterior. Un uso estándar del bootstrap es estimar los cuantiles de muestreo y luego usarlos en lugar de ± 1.96 se en la construcción anterior.$\hat{\theta}$$z_2 > 1.96\text{se}$$\pm 1.96 \text{se}$

Sin embargo, otra construcción estándar utilizado en bootstrapping es el intervalo percentil , que es en la terminología anterior. Es simplemente el intervalo desde el cuantil 2,5% al cuantil 97,5% para la distribución de muestreo de θ . Una distribución de muestreo derecha sesgada de θ implica un intervalo de confianza derecho asimétricos. Por las razones mencionadas anteriormente, esto

$$[\hat{\theta} + z_1, \hat{\theta} + z_2].$$ $\hat{\theta}.$$\hat{\theta}$me parece un comportamiento contraintuitivo de intervalos de percentiles. Pero tienen otras virtudes, y son, por ejemplo, invariables bajo transformaciones de parámetros monótonos.

Los intervalos de arranque de BCa (corrección de sesgo y acelerado) introducidos por Efron, ver, por ejemplo, los intervalos de confianza de Bootstrap en papel , mejoran las propiedades de los intervalos de percentiles. Solo puedo adivinar (y googlear) la cita de la publicación de OP, pero tal vez BCa es el contexto apropiado. Citando a Diciccio y Efron del artículo mencionado, página 193,

$a$$z_0$$\phi = m(\theta)$$\hat{\phi} = m(\hat{\theta})$$\theta$

$$\hat{\phi} \sim N(\phi - z_0 \sigma_{\phi}, \sigma_{\phi}^2), \quad \sigma_{\phi} = 1 + a \phi.$$ $\theta$$\hat{\theta}$

$m$