¿Cómo se relacionan la función de error y la función de distribución normal estándar?

Si el PDF normal estándar es

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$$

y el CDF es

$$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$$

¿Cómo se convierte esto en una función de error de ?$z$

Debido a que esto ocurre a menudo en algunos sistemas (por ejemplo, Mathematica insiste en expresar el CDF normal en términos de ), es bueno tener un hilo como este que documente la relación.$\text{Erf}$

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Por definición, la función de error es

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$$

Escribiendo implica t = z / $t^2 = z^2/2$ (porquetno es negativo), de dondedt=dz/$t = z / \sqrt{2}$$t$ . Los puntos finalest=0yt=x seconvierten enz=0yz=x$\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$$t=0$$t=x$$z=0$ . Para convertir la integral resultante en algo que se parece a una función de distribución acumulativa (CDF), debe expresarse en términos de integrales que tienen límites inferiores de-∞, por lo tanto:$z=x\sqrt{2}$$-\infty$

$$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$$

Esas integrales en el tamaño de la mano derecha son valores del CDF de la distribución Normal estándar,

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$$

Específicamente,

$$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$$

Esto muestra cómo expresar la función de error en términos de CDF normal. La manipulación algebraica de eso da fácilmente el CDF normal en términos de la función de error:

$$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$$

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Esta relación (para números reales, de todos modos) se exhibe en gráficos de las dos funciones. Los gráficos son curvas idénticas. Las coordenadas de la función de error a la izquierda se convierten en las coordenadas de a la derecha multiplicando las coordenadas x por $\Phi$$x$$\sqrt{2}$$1$$y$$y$$2$

$$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$$

en el que la notación muestra explícitamente estas tres operaciones de multiplicación, suma y división.