limite de

Me pregunto si mostrar que el límite: donde es la función de distribución de cola, , donde es la función de distribución acumulativa

lim_{x \to \infty} x \bar{F} (x) = 0

$\lim_{x \to \infty} x\overline{F}(x) =0$

\bar{F} = 1 - F

$\overline{F} =1-F$

\bar{F} (x) = 1 - F (x)

$\overline{F}(x)=1−F(x)$

F

$F$

Como $x \to \infty$ , $\overline{F} \to 0$ , entonces tenemos forma indeterminada, reescribo como:

lim_{x \to \infty} \frac{\bar{F} (x)}{1 / x}

$\lim_{x \to \infty} \frac{\overline{F}(x)}{1/x}$ y use la regla de L'Hôpital :

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{1 / x^{2}}

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{1/x^2}$ pero esto requiere el conocimiento de

f

$f$ como

x \to \infty

$x \to \infty$ que no tener.

¿Cómo evalúo este límite?

probability cdf dimebucker91
fuente

Debe aclarar sus suposiciones: el resultado reclamado no es cierto en general (por ejemplo, para Pareto), pero se cumple cuando

X

$X$ es positivo

E [X] < \infty

$\mathbb{E}[X] < \infty$ . Sugerencia: use

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X 1_{ \{X > x\} }]$ .

Yves

@ Nitpicking solitario un poco, pero la condición es en realidad un poco más débil que requiere integrabilidad. Por ejemplo, uno puede mostrar

x^{p} Pr {| X | > x} \to 0

$x^p \Pr\{|X| > x\} \to 0$ implica

E [| X |^{q}] < \infty

$E[|X|^q] < \infty$ para todos

q

$q$ estrictamente menos que

p

$p$ . Pero no es cierto para

q = p

$q = p$ en general. Fuera de mi cabeza, creo que la densidad proporcional a

1 / [x^{p + 1} \log x]

$1 / [x^{p+1} \log x]$ para

x > 2

$x > 2$ da el contraejemplo, pero confieso que no he hecho los cálculos.

chico

Esto se demuestra en un documento con un nombre tonto, la regla de Darth Vader en la página 2. Este documento no trata exactamente de su pregunta, pero sí responde a su pregunta.

RayVelcoro

Respuestas:

Asumiendo que existe la expectativa y por conveniencia de que la variable aleatoria tiene una densidad (equivalente a que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue), vamos a demostrar que

lim_{x \to \infty} x [1 - F (x)] = 0

$\lim_{x\to\infty} x \left [1-F(x)\right]=0$

La existencia de la expectativa implica que la distribución no tiene mucha cola, a diferencia de la distribución de Cauchy, por ejemplo.

Como existe la expectativa, tenemos que

E (X) = lim_{u \to \infty} \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x < \infty

$E(X)=\lim_{u\to \infty} \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} < \infty$

y esto siempre está bien definido. Ahora tenga en cuenta que para , $u \geq 0$

\int_{u}^{\infty} x f (x) d x \geq u \int_{u}^{\infty} f (x) d x = u [1 - F (u)]

$\int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx} \geq u \int_{u}^{\infty} f(x) \mathrm{dx} = u \left[1-F(u) \right]$

y de estos dos se deduce que

lim_{u \to \infty} [E (X) - \int_{- \infty}^{u} x f (x) d x] = lim_{u \to \infty} \int_{u}^{\infty} x f (x) d x = 0

$\lim_{u \to \infty} \left[ E(X) - \int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx} \right] = \lim_{u\to \infty} \int_{u}^{\infty} x f(x) \mathrm{dx}=0$

como en el límite, el término acerca a la expectativa. Por nuestra desigualdad y la no negatividad del integrando entonces, tenemos nuestro resultado. $\int_{-\infty}^u xf(x) \mathrm{dx}$

Espero que esto ayude.

JohnK
fuente

Gracias (+1) Relajando la suposición: cuando, por ejemplo, es una distribución de Cauchy, entonces el valor límite de es , no cero. Para distribuciones Student con un parámetro menor que ( denota el Cauchy), este límite es infinito.

F

$F$

x (1 - F (x))

$x(1-F(x))$

1 / π

$1/\pi$

t

$t$

1

$1$

1

$1$

whuber

Para cualquier variable aleatoria no negativa , hemos (ver (21.9) de Billingsley 's Probabilidad y medida ): Para , reemplazar por conduce de a $Y$

\begin{matrix} (*) & E [Y] = \int Y d P = \int_{0}^{\infty} P [Y > t] d t . \end{matrix}

$E[Y] = \int Y dP = \int_0^\infty P[Y > t] dt. \tag{*}$

M > 0

$M > 0$

Y

$Y$

X I_{[X > M]}

$XI_{[X > M]}$

(*)

$(*)$

\begin{matrix} (**) & \int X I_{[X > M]} d P = M P [X > M] + \int_{M}^{\infty} P [X > t] d t \geq M P [X > M] . \end{matrix}

$\int XI_{[X > M]} dP= MP[X > M] + \int_M^\infty P[X > t] dt \geq MP[X > M]. \tag{**}$

Suponga que es integrable (es decir, ), entonces el lado izquierdo de converge a como , por el teorema de convergencia dominado. Luego se deduce que Por lo tanto, el resultado sigue. $X$ $E[|X|]< \infty$ $(**)$ $0$ $M \to \infty$

0 \geq \underset{M \to \infty}{lim sup} M P [X > M] \geq \underset{M \to \infty}{lim inf} M P [X > M] \geq 0.

$0 \geq \limsup_{M \to \infty} MP[X > M] \geq \liminf_{M \to \infty} MP[X > M] \geq 0.$

Observación: esta prueba utiliza alguna teoría de la medida, que creo que vale la pena, ya que la prueba que supone la existencia de densidades no aborda una clase mayoritaria de variables aleatorias, por ejemplo, variables aleatorias discretas como binomial y Poisson.

Zhanxiong
fuente

La prueba realmente no requiere que sea integrable, sino solo que sea tal para algunos finitos , por lo tanto, puede tener una cola izquierda pesada. La identidad del libro de Billingsley no es realmente necesaria ya que tiende a para con probabilidad uno.

X

$X$

X 1_{{X > x_{0}}}

$X 1_{ \{X > x_0\}}$

x_{0}

$x_0$

X

$X$

X 1_{{X > x}}

$X 1_{ \{X > x\}}$

0

$0$

x \to \infty

$x \to \infty$

Yves

@ Yves @ chico Sí, buen punto. La integrabilidad es solo una condición suficiente pero nunca necesaria. Sin embargo, podría ser la condición más sucinta y normal impuesta para derivar la relación solicitada por OP.

Zhanxiong

OKAY. Alternativa sucinta: .

E (X_{+}) < \infty

$\mathbb{E}(X_+) < \infty$

Yves

@Yves Por supuesto :)

Zhanxiong