¿Correlación intraclase (ICC) para una interacción?

Supongamos que tengo alguna medida para cada sujeto en cada sitio. Dos variables, sujeto y sitio, son de interés en términos de cálculo de valores de correlación intraclase (ICC). Normalmente, usaría la función lmerdel paquete R lme4y ejecutaría

lmer(measurement ~ 1 + (1 | subject) + (1 | site), mydata)

Los valores ICC se pueden obtener de las variaciones para los efectos aleatorios en el modelo anterior.

Sin embargo, recientemente leí un artículo que realmente me desconcierta. Usando el ejemplo anterior, los autores calcularon tres valores ICC en el documento con la función lme del paquete nlme: uno para el sujeto, uno para el sitio y uno para la interacción del sujeto y el sitio. No se dieron más detalles en el documento. Estoy confundido por las siguientes dos perspectivas:

1. ¿Cómo calcular los valores ICC con lme? No sé cómo especificar esos tres efectos aleatorios (sujeto, sitio y su interacción) en lme.
2. ¿Es realmente significativo considerar el ICC para la interacción del tema y el sitio? Desde el modelo o la perspectiva teórica, puede calcularlo, pero conceptualmente tengo problemas para interpretar tal interacción.

La fórmula del modelo R

lmer(measurement ~ 1 + (1 | subject) + (1 | site), mydata)

se ajusta al modelo

$$Y_{ijk} = \beta_0 + \eta_{i} + \theta_{j} + \varepsilon_{ijk}$$

donde es la -ésima de a , es el sujeto efecto aleatorio, es el sitio efecto aleatorio y es el error sobrante. Estos efectos aleatorios tienen variaciones que el modelo estima. (Tenga en cuenta que si el sujeto está anidado dentro del sitio, tradicionalmente escribiría aquí en lugar de ).$Y_{ijk}$$k$measurementsubject $i$site $j$$\eta_{i}$$i$$\theta_{j}$$j$$\varepsilon_{ijk}$$\sigma^{2}_{\eta}, \sigma^{2}_{\theta}, \sigma^{2}_{\varepsilon}$$\theta_{ij}$$\theta_{j}$

Para responder a su primera pregunta sobre cómo calcular los ICC: según este modelo, los ICC son la proporción de la variación total explicada por el factor de bloqueo respectivo. En particular, la correlación entre dos observaciones seleccionadas al azar sobre el mismo tema es:

$${\rm ICC}({\rm Subject}) = \frac{\sigma^{2}_{\eta}}{\sigma^{2}_{\eta}+ \sigma^{2}_{\theta}+\sigma^{2}_{\varepsilon}}$$

La correlación entre dos observaciones seleccionadas al azar del mismo sitio es:

$${\rm ICC}({\rm Site}) = \frac{\sigma^{2}_{\theta}}{\sigma^{2}_{\eta}+ \sigma^{2}_{\theta}+\sigma^{2}_{\varepsilon}}$$

La correlación entre dos observaciones seleccionadas al azar en el mismo individuo y en el mismo sitio (la llamada interacción ICC) es:

$${\rm ICC}({\rm Subject/Site \ Interaction}) = \frac{\sigma^{2}_{\eta}+\sigma^{2}_{\theta}}{\sigma^{2}_{\eta}+ \sigma^{2}_{\theta}+\sigma^{2}_{\varepsilon}}$$

${\rm ICC}$Subjectsite

Cada una de estas cantidades se puede estimar conectando las estimaciones de estas variaciones que surgen del ajuste del modelo.

${\rm ICC}$${\rm ICC}$

Subject ${\rm ICC}$Subjectsite$\sigma^{2}_{\eta}$site