Interpretación de la Ley Total de Covarianza

que sean variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad y que la covarianza de e sea ​​finita, entonces la ley de la fórmula de covarianza / descomposición de covarianza total establece: ¿Cuál es la interpretación de y \ text {(ii)} ?$X,Y,Z$$X$$Y$

$$\begin{align} \text{Cov}(X,Y)=\underbrace{\mathbb{E}\big[\text{Cov}(X,Y\lvert Z)\big]}_{\text{(i)}}+\underbrace{\text{Cov}\big[\mathbb{E}(X\lvert Z),\mathbb{E}(Y\lvert Z)\big]}_{\text{(ii)}} \end{align}$$ $\text{(i)}$$\text{(ii)}$

Mis pensamientos: en (ii) las dos expectativas condicionales pueden verse como variables aleatorias en sí mismas, también sé que esta es una generalización de la ley de la fórmula de varianza total / descomposición de la varianza que se puede mostrar estableciendo $X=Y$ , donde la interpretación es entonces la de una variación en $Y$ explica por $Z$ y no explicada por $Z$ . Pero, ¿cuál es la interpretación correcta en la fórmula de covarianza anterior para (i) y (ii)? Wikipedia ofrece una breve descripción que no es muy satisfactoria.

El primer término (i): $E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$

Piense $\operatorname{cov}(X,Y)$ como una función de $Z$ . Al examinar diferentes valores de $Z$ , obtendrá un valor correspondiente para $\operatorname{cov}(X,Y)$ . La expectativa simplemente promedios estos diferentes covarianzas con respecto a $Z$ .

El segundo término (ii): $\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

Piense en y en función de . Al examinar diferentes valores de , obtendrás un valor de y un valor de simultáneamente. Por lo tanto, para cada valor de , obtendrá una coordenada . Este término es simplemente la covarianza de todos estos puntos de coordenadas.$E[X|Z]$$E[Y|Z]$$Z$$Z$$E[X|Z]$$E[Y|Z]$$Z$$(X, Y)$

Otra posible interpretación en un marco jerárquico es una simple descomposición de la covarianza total en dos términos:$\operatorname{cov}(X,Y)$

1. el grupo interno ( ) y$E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$
2. entre group$\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

covarianzas El primer término representa en este ejemplo el promedio de las covarianzas de y evaluados para cada grupo, mientras que el segundo término es la covarianza del Grupo de promedios para y .$X$$Y$$X$$Y$