Regresión lineal con errores de Laplace

Considere un modelo de regresión lineal:

$$y_i = \mathbf x_i \cdot \boldsymbol \beta + \varepsilon _i, \, i=1,\ldots ,n,$$ donde $\varepsilon _i \sim \mathcal L(0, b)$ , es decir , La distribución de Laplace con media $0$ y parámetro de escala $b$ , son todos independientes entre sí. Considere una estimación de máxima probabilidad de parámetro desconocido $\boldsymbol \beta$ : $$-\log p(\mathbf y \mid \mathbf X, \boldsymbol \beta, b) = n\log (2b) + \frac 1b\sum _{i=1}^n |\mathbf x_i \cdot \boldsymbol \beta - y_i|$$ de la cual $$\hat{\boldsymbol \beta}_{\mathrm {ML}} = {\arg\min }_{\boldsymbol \beta \in \mathbb R^m} \sum _{i=1}^n |\mathbf x_i \cdot \boldsymbol \beta - y_i|$$

¿Cómo se puede encontrar una distribución de residuos $\mathbf y - \mathbf X\hat{\boldsymbol \beta}_{\mathrm {ML}}$ en este modelo?

Se supone que los residuos (en realidad llamados errores) se distribuyen aleatoriamente con una distribución doble exponencial (distribución de Laplace). Si está ajustando estos puntos de datos x e y, hágalo numéricamente. Primero calcule beta-hat_ML para estos puntos en conjunto utilizando la fórmula que publicó anteriormente. Esto determinará una línea a través de los puntos. Luego reste el valor y de cada punto del valor y de la línea en ese valor x. Este es el residuo para ese punto. Los residuos de todos los puntos se pueden usar para construir un histograma que le dará la distribución de los residuos.

Hay un buen artículo matemático sobre esto por Yang (2014) .

--Sotavento