Integrales aproximadas usando simulación Monte Carlo en R

¿Cómo aproximado la siguiente integral usando la simulación MC?

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} | x - y | d x d y

$\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} |x-y| \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y$

¡Gracias!

Editar (Algún contexto): estoy tratando de aprender a usar la simulación para aproximar integrales, y estoy haciendo algo de práctica cuando me encontré con algunas dificultades.

Edición 2 + 3 : De alguna manera me confundí y pensé que necesitaba dividir la integral en partes separadas. Entonces, en realidad lo descubrí:

n <- 15000
x <- runif(n, min=-1, max=1)
y <- runif(n, min=-1, max=1)
mean(4*abs(x-y))

r self-study monte-carlo Mi nombre
fuente

U (- 1, 1)

$\mathcal U(-1,1)$

Es 0.5. Entonces necesito multiplicar por dos 2 para dar: 'mean (4 * abs (xy))'. ¿Finalmente lo entendí?

Mi nombre el

(+1) ¡ Sí ! :) Puede que tenga que esperar unas pocas (8?) Horas, pero debe considerar volver y colocar su edición en una respuesta para que otros usuarios (como yo) puedan votarla. Bienvenido al sitio! Espero verte continuar participando aquí. Salud. :)

cardenal

Un punto para agregar: encuentro que los máximos son extremadamente útiles para las matemáticas simbólicas. Si tuviera que hacer cálculos analíticos yo mismo, tendría el mismo problema que @EpiGrad. Pero en maxima, podrías hacer integrate(integrate(abs(x-y), y, -1, 1), x, -1, 1);y obtener la respuesta 8/3.

Karl

Para los interesados R, aunque no tan elegante en el código máximo publicado por Karl, uno puede hacer integrate(Vectorize(function(y) integrate(function(x) abs(x-y), -1, 1)$value), -1, 1)y obtener una aproximación numérica. Se puede usar el paquete cubatureadaptIntegrate(function(x) abs(x[1] - x[2]), c(-1, -1), c(1, 1)) . Esto es solo para dar un par de ideas para la evaluación numérica de integrales que podrían ser útiles, por ejemplo, al probar si una simulación funciona correctamente.

NRH

Integrales aproximadas usando simulación Monte Carlo en R

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