¿Cómo elegir si dejar la cola del autobús o permanecer allí usando la teoría de la probabilidad?

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He estado pensando en algo desde hace algún tiempo, y dado que no soy muy competente en teoría de la probabilidad, pensé que este podría ser un buen lugar para hacer esta pregunta. Esto es algo que se me ocurrió en las largas colas del transporte público.

Suponga que está en una estación de autobuses y sabe que un autobús (o varios autobuses) ciertamente vendrá en el futuro (durante el día), pero no sabe el momento exacto. Te imaginas una probabilidad de que el autobús llegue en cinco minutos. Entonces espera cinco minutos. Pero el autobús no llega. ¿Es ahora la probabilidad menor o mayor que la original que imaginaste?

La pregunta es porque si estás usando el pasado para predecir el futuro, tal vez no seas muy optimista sobre la llegada del autobús. Pero quizás también podría pensar que en realidad hace que el evento sea más probable: dado que el autobús aún no ha llegado, hay menos minutos disponibles en el día y, por lo tanto, la probabilidad es mayor.

Piensa en los últimos cinco minutos del día. Has estado allí todo el día y no han venido autobuses. Entonces, a juzgar únicamente por el pasado, no puede predecir que el autobús llegará en los próximos cinco minutos. Pero dado que está seguro de que un autobús llegará antes de que termine el día, y solo quedan cinco minutos para que termine el día, puede estar 100% seguro de que el autobús llegará en cinco minutos.

Entonces, la pregunta es, si voy a calcular la probabilidad y abandonar la cola, ¿qué método debo usar? Es porque a veces dejo de fumar y de repente llega el autobús, pero a veces espero y espero y espero y el autobús no llega. ¿O tal vez toda esta pregunta no tiene sentido y eso es simplemente terriblemente aleatorio?

probability Número cinco
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Respuestas:

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Creo que respondiste tu propia pregunta. Suponga que está seguro de que n autobuses llegarán al final del día (que está a h horas de distancia) pero no está seguro de cuándo llegarán en esas horas, puede usar una distribución de Poisson con una tasa igual a n / hy calcular la probabilidad de que llegue un solo autobús en los próximos diez minutos, por ejemplo. Mientras espera el autobús y h comienza a reducirse, la tasa n / h comienza a aumentar y aumenta la posibilidad de que llegue un autobús en los próximos diez minutos. Entonces, con cada momento que pasa, tiene cada vez menos sentido que abandones la cola (suponiendo que el autobús tenga espacio para ti cuando llegue).

usuario3353185
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Buena respuesta, muchas gracias. Tenía la misma intuición, pero no sabía que se llamaba distribución de Poisson.
cinco
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Si realmente modela las llegadas de autobuses como un proceso de Poisson, entonces esto no es cierto. Los procesos de Poisson son "sin memoria", ya que modelan el evento de la llegada de un autobús en cualquier momento como una probabilidad constante a través del tiempo. Es decir, después de haber esperado 5 minutos sin que llegue el autobús, el modelo predecirá la misma probabilidad de que llegue un autobús en los próximos 10 minutos que en los 10 minutos originales.
leekaiinthesky
leekaiinthesky, tienes razón en que para una tasa dada, poisson es una distribución sin memoria. Sin embargo, si estamos seguros de que n autobuses llegarán al final del día, entonces la tarifa en sí aumenta continuamente.
user3353185
Incluso bajo esos supuestos específicos, el uso de la distribución de Poisson no da la respuesta correcta. Su argumento se basa en la tasa creciente porque sabe que n buses llegarán en total, pero en la distribución de Poisson el número total de eventos no es fijo. Además, incluso en los 10 minutos para los que desea calcular la probabilidad, la tasa ya cambiaría según su argumento. Esto es solo una aproximación, que aún sería una buena respuesta si discute qué tan buena es la aproximación.
Erik
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Depende de qué tan cerca de un horario estén llegando sus autobuses.

  1. Si están en un horario regular, cada minuto que esperas está un minuto más cerca de la llegada de un autobús, y en promedio esperas la mitad del intervalo entre autobuses.

  2. Si los autobuses llegaran en diferentes horarios entre autobuses, a una determinada tasa promedio por hora, es más probable que llegue a la parada de autobús en un espacio largo que en uno corto. De hecho, si llegan "efectivamente al azar" (de acuerdo con un proceso de Poisson), no importa cuánto tiempo espere, la espera restante esperada es la misma.

  3. Si las cosas se ponen peor que eso (más rápido / más explosivo que las llegadas "aleatorias", tal vez debido a problemas de tráfico), entonces sería mejor no esperar.

Glen_b -Reinstate a Monica
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Bien, intentaré digerir eso. Gracias. Entonces, si no conocemos la tasa promedio por hora, ¿básicamente no podemos decir nada?
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Si espera 23 horas y el autobús aún no ha llegado, ignore la premisa de distribuciones (cdf) que siempre suma 1. El autobús simplemente no vendrá. En general, los europeos creerían en una distribución uniforme, una buena apuesta si eres japonés; Para los estadounidenses, el transporte público se considera más con el ojo ictericio de un proceso sin memoria de Poisson, y conducen sus propios autos ... Piénselo ... No importa cuánto tiempo haya esperado la probabilidad de que el autobús llegue a un cierto tiempo permanece obstinadamente igual. He oído que la distribución de Weibull puede ayudar, pero no estoy seguro.
Antoni Parellada
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Aquí hay un excelente y gratuito documento sobre Weibull y este tema.
Antoni Parellada
@Antoni Gracias. Hay una medida en que los modelos de probabilidad (como el Poisson en el ítem 2 en mi respuesta) realmente no funcionan para este problema; Las llegadas de autobuses no son realmente un proceso aleatorio en la forma descrita anteriormente. Si los presionas lo suficiente, por supuesto, las conclusiones a las que llegarían no tendrán sentido.
Glen_b -Reinstale a Mónica el
@AntoniParellada y Glen_b muchas gracias por sus respuestas. No me había imaginado mucho detrás de esta pregunta. Seguiré estudiando para comprender todo lo que amablemente has escrito. Ten un día excelente.
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gran pregunta!

Desde una perspectiva de probabilidad, esperar puede hacer que las probabilidades aumenten. Eso será cierto para las distribuciones gaussianas y uniformes. Sin embargo, no sería cierto para las distribuciones exponenciales: lo bueno de que las distribuciones exponenciales sean "sin memoria" en ese sentido, ya que la probabilidad para el próximo intervalo es siempre la misma.

Sin embargo, creo que algo más interesante podría ser generar alguna función de costo. ¿Cuál es el costo del transporte alternativo (taxi, ueber)? ¿Cuál es el costo de llegar tarde? Luego puede desempolvar el libro de cálculo y minimizar la función de costo.

Para convencerme de que las probabilidades siempre aumentan para las distribuciones gaussianas, escribí un poco de matlab, pero intentaré encontrar algo más matemáticamente puro. Creo que para el uniforme es obvio, ya que el numerador es constante (hasta nada) y el denominador siempre está disminuyendo hacia la nada.

MikeP
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Una suposición del OP es que "estás seguro de que un autobús llegará antes de que termine el día", lo que impone algunas restricciones interesantes sobre la distribución de probabilidad. Desearía tener tanta certeza en la vida real.
EdM
@MikeP Gracias por tu respuesta. ¿Se aplica eso incluso cuando se desconoce la distribución subyacente? ¿O tal vez puedo asumir una cierta distribución? Siendo ese el caso, podría ser que a medida que pasa el tiempo, puedo cambiar mi opinión y decir que esa distribución ya no se mantiene y buscar otra. La distribución sin memoria suena bien, pero tal vez lo que me gustaría saber requiere una distribución que tenga en cuenta el pasado.
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¡No hay problema @NormanSimon! No siempre. Por ejemplo, suponga que tiene un pdf trimodal, hice un ejemplo rápido con la suma de 3 gaussianos (cada uno con sigma de 3, con medias de -8, 0 y +8. En este caso, cuando llegó a un joroba, las probabilidades en realidad disminuyeron ligeramente para los próximos 3 minutos.
MikeP
¡Dios mío, Mike, suena tan complicado! Pero prometo que seguiré estudiando. Tal vez estoy haciendo preguntas demasiado avanzadas mientras todavía soy un principiante. Pero muchas, muchas gracias =)
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Si deja caer la restricción de que el autobús debe llegar en algún momento durante el día, entonces se puede argumentar que cuanto más espere, más tiempo esperará tener que esperar. ¿La razón? Cuanto más espere, mayor será su creencia de que el parámetro de tasa de Poisson es pequeño. Ver pregunta 1, aquí .

Creosota
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De nada. ¡Pero quise decir "el parámetro de velocidad es grande ", no pequeño ...! He editado mi respuesta en consecuencia.
Creosota