¿Qué es el Alfa de Cronbach intuitivamente?

Puedes ver lo que significa al estudiar la fórmula:

α = \frac{K}{K - 1} (1 - \frac{\sum σ_{x_{i}}^{2}}{σ_{T}^{2}})

$\alpha = \frac{K}{K-1}\left(1-\frac{\sum \sigma^2_{x_i}}{\sigma^2_T}\right)$

dónde $T=x_1 + x_2 + ... x_K$ . $T$ es la puntuación total de una prueba con $K$ artículos, cada puntaje $x_i$ , respectivamente.

Desempaquete la fórmula, usando lo que sabemos sobre la covarianza de una suma de RV.

Si los elementos de prueba son independientes (piense $K$ preguntas de búsqueda aleatoria, trivial), luego la varianza de $T$ es la suma de las variaciones de la $x_i$ y $\alpha=0$ .
Supongamos que el $x_i$ son en realidad la misma pregunta repetida $K$ veces. Entonces $\sigma^2_T=K^2 \sigma^2_x$ y un poco de álgebra muestra que $\alpha=1$ .

Estos son los casos extremos. Normalmente, habrá algunas correlaciones positivas entre los elementos (suponiendo que todo esté codificado en la misma dirección), por lo que la relación de las variaciones será menor que 1. Cuanto mayores sean las covarianzas, mayor será el valor de $\alpha$ .

Recuerda que hay $K(K-1)/2$ covarianzas en el $x_i$ para obtener la varianza de $T$ , por lo que necesita que la mayoría de las cosas estén razonablemente correlacionadas con la mayoría de las otras variables para obtener una salud $\alpha$ . Es, como señaló @ttnphns, una covarianza promedio casi normalizada .

σ_{T}^{2} = \sum σ_{x_{i}}^{2} + 2 \sum_{i < j}^{K} c o v (x_{i}, x_{j})

$\sigma^2_T = \sum \sigma^2_{x_i} + 2 \sum_{i < j}^K {\rm cov}(x_i,x_j)$

Este término está en el numerador de la razón de las variaciones, por lo que cuanto mayor se hace, menor es la razón y la cantidad se acerca a 1.

Entonces, ¿qué implica esto? Tome una situación de prueba muy simple, donde cada elemento se correlaciona con un factor subyacente con la misma carga, por lo tanto:

x_{i} = λ ξ + ϵ_{i}

$x_i = \lambda \xi + \epsilon_i$

Entonces las covarianzas son de la forma $\lambda^2$ . Si $\lambda$ es bastante grande, en relación con el ruido $\epsilon$ , Voy a obtener algo cercano a 1. De hecho, si estandarizamos para que $\sigma^2_x=1$

α = \frac{K}{K - 1} (1 - \frac{1}{1 + (K - 1) λ^{2}})

$\alpha = \frac{K}{K-1}\left(1-\frac{1}{1+(K-1)\lambda^2}\right)$

y $\alpha$ es básicamente una versión monótona, si no lineal, del factor de carga.

Lamentablemente, lo contrario no es cierto, y grande $\alpha$ los valores se pueden obtener de una variedad de estructuras de factores, o realmente ninguna. Los elementos deben estar correlacionados, en promedio, pero eso en realidad no dice mucho. El alfa de Cronbach es una estadística de prueba que recibe demasiada publicidad, en mi opinión, por lo que vale. Hoy en día, no hay razón para no hacer un análisis factorial y confirmar si los ítems de la prueba están funcionando como uno cree que deberían.

El siguiente gráfico muestra el valor de $\alpha$ cuando hay 20 artículos con cargas idénticas, como arriba.

A los psicólogos les gusta obtener un $\alpha$ mayor que 0,80, pero eso se puede lograr con una carga de 0,5, no es exactamente un elemento de prueba ajustado.

Placidia
fuente

¿No debería haber k (k-1) / 2 covarianzas, en lugar de k?

Casebash

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