Estime la varianza de una población si se conoce la media de la población

Sé que usamos para estimar la varianza de una población. Recuerdo un video de Khan Academy donde la intuición dada era que nuestra media estimada probablemente esté un poco fuera de la real, por lo que las distancias realidad serían mayores, por lo que dividimos por menos ( lugar de ) para obtener un mayor valor, lo que resulta en una mejor estimación. Y recuerdo haber leído en alguna parte, que no necesito esta corrección si tengo la media real de la población lugar de . Entonces, estimaría Pero ya no puedo encontrarlo. ¿Es verdad? ¿Alguien puede darme un puntero?$\frac1{n-1}\sum\limits_i(x_i - \bar{x})^2$$x_i - \bar{x}$$n-1$$n$
$\mu$$\bar{x}$$\frac1{n}\sum\limits_i(x_i - \mu)^2$

Si es cierto. En el lenguaje de las estadísticas, diríamos que si no tiene conocimiento de la media de la población, entonces la cantidad

$$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\bar{x} \right)^2$$

es imparcial, lo que simplemente significa que estima la varianza de la población correctamente en promedio . Pero si conoce la media de la población, no es necesario utilizar una estimación para ello: para esto sirve la y la corrección de muestras finitas que viene con ella.$\bar{x}$

De hecho, se puede demostrar que la cantidad

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\mu \right)^2$$

no solo es imparcial, sino que también tiene una varianza menor que la cantidad anterior. Esto es bastante intuitivo ya que parte de la incertidumbre se ha eliminado. Entonces usamos este en esta situación.

Vale la pena señalar que los estimadores diferirán muy poco en tamaños de muestra grandes y, por lo tanto, son asintóticamente equivalentes .