Regresión sin intercepción: derivando

En Una Introducción al Aprendizaje Estadístico (James et al.), En la sección 3.7 ejercicio 5, establece que la fórmula para suponiendo una regresión lineal sin una intersección es donde y$\hat{\beta}_1$

$$\hat{\beta}_1 = \dfrac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i}{\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2}\text{,}$$ $\hat{\beta}_0 = \bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$$\hat{\beta}_1 = \dfrac{\displaystyle S_{xy}}{S_{xx}}$ son las estimaciones habituales en OLS para la regresión lineal simple ($S_{xy} = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$)

Este no es el ejercicio real ; Simplemente me pregunto cómo derivar la ecuación. Sin usar álgebra matricial , ¿cómo puedo derivarlo?

Mi intento: con $\hat{\beta}_0 = 0$, tenemos $\hat{\beta}_1 = \dfrac{\bar{y}}{\bar{x}} = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$.

Después de un poco de álgebra, se puede demostrar que $\displaystyle S_{xy} = \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}\bar{y}$ y $\displaystyle S_{xx} = \sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2$. A partir de aquí, estoy atascado.

Esto es directo de la definición de mínimos cuadrados ordinarios. Si no hay intercepción, uno está minimizando$R(\beta) = \sum_{i=1}^{i=n} (y_i- \beta x_i)^2$. Esto es suave en función de$\beta$, por lo que todos los mínimos (o máximos) ocurren cuando la derivada es cero. Diferenciando con respecto a$\beta$ obtenemos $-\sum_{i=1}^{i=n} 2(y_i- \beta x_i)x_i$. Resolviendo para$\beta$ da la formula.