¿Qué podemos decir sobre la media de la población a partir de un tamaño de muestra de 1?

Me pregunto qué podemos decir, en todo caso, sobre la media de la población, cuando todo lo que tengo es una medida, y 1 (tamaño de muestra de 1). Obviamente, nos encantaría tener más medidas, pero no podemos obtenerlas.$\mu$$y_1$

Me parece que dado que la media de la muestra, , es trivialmente igual a y 1 , entonces E [ ˉ y ] = E [ y 1 ] = μ . Sin embargo, con un tamaño de muestra de 1, la varianza muestral no está definida y, por lo tanto, nuestra confianza en el uso de ˉ y como estimador de μ también está indefinida, ¿correcto? ¿Habría alguna forma de restringir nuestra estimación de μ ?$\bar{y}$$y_1$$E[\bar{y}]=E[y_1]=\mu$$\bar{y}$$\mu$$\mu$

Aquí hay un nuevo artículo sobre esta pregunta para el caso de Poisson, que adopta un buen enfoque pedagógico:

Andersson Per Gösta (2015). Un enfoque de clase para la construcción de un intervalo de confianza aproximado de una media de Poisson usando una observación. The American Statistician , 69 (3), 160-164, DOI: 10.1080 / 00031305.2015.1056830 .

$x$

Esto se discute en el artículo "Un intervalo de confianza efectivo para la media con muestras de tamaño uno y dos", de Wall, Boen y Tweedie, The American Statistician , mayo de 2001, vol. 55, n . ° 2 . ( pdf )

$\mu$

Un pequeño ejercicio de simulación para ilustrar si la respuesta de @soakley funciona:

# Set the number of trials, M
M=10^6
# Set the true mean for each trial
mu=rep(0,M)
# Set the true standard deviation for each trial
sd=rep(1,M)
# Set counter to zero
count=0
for(i in 1:M){
 # Control the random number generation so that the experiment is replicable 
 set.seed(i)
 # Generate one draw of a normal random variable with a given mean and standard deviation
 x=rnorm(n=1,mean=mu[i],sd=sd[i])
 # Estimate the lower confidence bound for the population mean
 lower=x-9.68*abs(x)
 # Estimate the upper confidence bound for the population mean
 upper=x+9.68*abs(x)
 # If the true mean is within the confidence interval, count it in
 if( (lower<mu[i]) && (mu[i]<upper) ) count=count+1
}
# Obtain the percentage of cases when the true mean is within the confidence interval
count_pct=count/M
# Print the result
print(count_pct)
[1] 1

De un millón de ensayos aleatorios, el intervalo de confianza incluye la media real un millón de veces, es decir, siempre . Eso no debería suceder en caso de que el intervalo de confianza fuera un intervalo de confianza del 95% .

Entonces, la fórmula no parece funcionar ... ¿O he cometido un error de codificación?

$(\mu, \sigma)=(1000,1)$
$0.950097 \approx 0.95$$(\mu, \sigma)=(1000,1000)$

Ver Edelman, D (1990) "Un intervalo de confianza para el centro de una distribución unimodal desconocida basada en un tamaño de muestra uno" The American Statistician, Vol 44, no 4. El artículo cubre los casos normales y no paramétricos.