¿Cuál es el significado intuitivo detrás de una variable aleatoria que se define como una "red"?

En la teoría de la probabilidad, una variable aleatoria no negativa $X$ se llama retícula si existe $d \geq 0$ modo que $\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$ .

¿Existe una interpretación geométrica de por qué esta definición se llama red?

Significa que $X$ es discreto y que hay algún tipo de espacio regular en su distribución; es decir, la masa de probabilidad se concentra en un conjunto finito / numerable de puntos ${d, 2d, 3d, \dots}$ .

Tenga en cuenta que no todas las distribuciones discretas son retículas. Por ejemplo, si $X$ puede tomar los valores $\{1, e, \pi, 5\}$ , esto no es una red, ya que no hay $d$ tal que todos los valores se puedan expresar como múltiplos de $d$ .

Esta terminología conecta la variable aleatoria con conceptos de teoría de grupos utilizados para estudiar simetrías geométricas. Por lo tanto, puede disfrutar viendo la conexión más general, que iluminará el significado y las posibles aplicaciones de las variables aleatorias de la red.

Antecedentes

En matemáticas, un "retículo" es un subgrupo discreto de un grupo topológico G ( generalmente se supone que tiene un covolumen finito ).$\mathcal{L}$$G$

• "Discreto" significa que alrededor de cada elemento es un conjunto abierto O g ⊂ L que contiene solo g : O g ∪ L = { g } . Sería justo pensar en L como un arreglo de "patrón" o "regular" de puntos en G .$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• El grupo actúa sobre L "moviendo puntos en L alrededor de G ", formando una órbita fuera de cada uno. Un dominio fundamental de esta acción consiste en un único punto en cada órbita. G puede ser equipado con una medida - la medida de Haar - se usa para medir los tamaños o volúmenes , de Borel subconjuntos medibles de G . Se puede encontrar un dominio fundamental medible. Su volumen es el covolumen de L . Cuando es finito, podemos pensar que G está en mosaico por este dominio fundamental y que los elementos de L mueven los mosaicos.$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

Cualquier par de estas figuras de caballitos de mar, donde una está boca arriba y la otra boca abajo, puede ser un dominio fundamental para la red visualmente evidente en el plano euclidiano. MC Escher, Sea Horse (No. 11) .

Una variable aleatoria "reticular" se admite en una retícula en ( R n , + ) . $X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ Esto significa que toda su probabilidad está contenida en el cierre de la red. Debido a que una red es discreta, está cerrada, por lo que los valores de están en la red casi con seguridad: Pr ( X ∈ L ) = 1 .$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

Solicitud

El grupo implicado por la pregunta es el grupo aditivo de números reales, , con su topología habitual (euclidiana). Como subgrupo, una red L debe incluir 0 . Eso por sí solo no será suficiente, porque el cociente R / { 0 } tiene un volumen infinito ("volumen" = "longitud" en este caso 1D). Así, hay al menos un elemento distinto de cero g ∈ L . Todos los poderes de este elemento también deben estar en el subgrupo. Dado que la operación es adición , el n º potencia de g es n $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$. Por lo tanto, contiene todos los múltiplos integrales de g (incluidos los negativos).$\mathcal{L}$$g$

Si hay dos elementos que no son potencias entre sí, es fácil mostrar (usando un poco de teoría de números) que (1) todas las combinaciones n g + m h , para n , m ∈ Z , están en correspondencia uno a uno con los pares ordenados ( m , n ) y (2) estas combinaciones son densas en R , lo que significaría que L no es discreto. De esto es fácil concluir que todos los elementos en L son potencias de un solo número$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ . $g$ Este es elgeneradorde .$\mathcal{L}$

(Un argumento análogo muestra que las redes en deben tener n generadores. Los generadores para la acuarela de Escher podrían ser, por ejemplo, una traducción de dos unidades hacia abajo y una traducción una unidad hacia abajo y una unidad hacia la derecha, aproximadamente. )$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

En consecuencia, la correspondiente a cualquier variable aleatoria de red real en ( R , + ) debe ser un generador g ≠ 0 , de donde$X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

Por lo tanto, la definición en la pregunta puede entenderse como la de una variable de red no negativa . También podríamos querer estipular que , porque de lo contrario X es compatible con el subgrupo { 0 } que, al tener un covolumen infinito, no es una red.$\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$

Generalización

Los números reales positivos forman un grupo multiplicativo. Una red en este grupo tendrá la forma L = { g $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ para algunos g > 0 . (El covolumen de esta red es | log ( g ) | .) En consecuencia, cualquier variable aleatoria Y para la cual$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

podría considerarse una variable de red en este grupo. Evidentemente, sería una variable de red en ( R , + ) .$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$