¿Cuál es la demostración de la varianza de la diferencia de dos variables dependientes?

Sé que la varianza de la diferencia de dos variables independientes es la suma de las varianzas, y puedo demostrarlo. Quiero saber a dónde va la covarianza en el otro caso.

Cuando e son variables dependientes con covarianza , entonces la varianza de su diferencia viene dada por Esto se menciona entre las propiedades básicas de variación en http://en.wikipedia.org/wiki/Variance . Si e no están correlacionados (que es el caso cuando son independientes), entonces su covarianza es cero y tenemos $X$$Y$$\mathrm{Cov}[X,Y] = \mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X])(Y-\mathrm{E}[Y])]$

$$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y] - 2 \mathrm{Cov}[X,Y]$$ $X$$Y$ $$\mathrm{Var}[X-Y] = \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[Y]$$

Deje e ser dos variables aleatorias. Queremos mostrar que .$X$$Y$$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$

Definamos , entonces tenemos: .$Z:=-Y$$Var[X-Y]=Var[X+Z]=Var[X]+Var[Z]+2\times Cov[X,Z]$

$Var[Z] = Var[-Y] = Var[Y]$ , ya que$Var[\alpha Y] = \alpha^2 Var[Y]\enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}.$

También tenemos , porque .$Cov[X,Z] = Cov[X,-Y] = -Cov[X,Y]$$Cov(X,\beta Y) = \beta Cov(X,Y)\enspace \forall \beta \in \mathbb{R}$

Al poner todas las piezas juntas, tenemos .$Var[X-Y]=Var[X]+Var[Y]-2\times Cov[X,Y]$