¿Cuál es el mínimo de

Todas las distribuciones en un intervalo acotado satisfacen:$[0,1]$

$$\sigma^2 \le \mu (1-\mu)$$

donde es la media y la varianza.$\mu$$\sigma^2$

Ahora suponga que la distribución es unimodal, en el sentido de que tiene como máximo un máximo local. ¿Cuál es el valor mínimo que puede tener la siguiente relación?

$$\frac{\mu (1-\mu)}{\sigma^2}?$$

Un mínimo no existe. Sin embargo, un infimum hace. Se desprende del hecho de que

El supremum de la varianza de las distribuciones unimodales definidas en $[0,1]$ teniendo media $\mu$ es $\mu(2 - 3\mu)/3$ ($0 \le \mu \le 1/2$) o $(1-\mu)(3\mu-1)/3$ ($1/2\le \mu \le 1$)

El supremum se alcanza realmente mediante una distribución que, aunque no tiene una función de densidad, todavía puede (en un sentido generalizado) considerarse como "unimodal"; tendrá un átomo en$0$ (cuando $\mu \lt 1/2$) o un átomo en $1$ (cuando $\mu \gt 1/2$) pero por lo demás sea uniforme.

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Dibujaré el argumento. La pregunta nos pide que optimicemos un funcional lineal

$$\mathcal{L_{x^2}}: D[0,1] \to \mathbb{R}$$

sujeto a varias restricciones de igualdad y desigualdad, donde $D[0,1]$ es el conjunto de medidas (firmadas) en el intervalo $[0,1]$. Para diferenciable$F:[0,1]\to\mathbb{R}$ y $g:[0,1]\to\mathbb{R}$ cualquier función continua, define

$$\mathcal{L}_g[F] = \int_0^1 g(x) dF(x),$$

y extender $\mathcal{L}$ a todos $D[0,1]$ por continuidad.

Las restricciones de igualdad son

$$\mathcal{L}_1[F] = 1$$

y

$$\mathcal{L}_x[F] = \mu.$$

Las restricciones de desigualdad son que

$$f(x) \ge 0$$

y existe $\lambda \in [0,1]$ (un "modo") tal que para todos $0\le x \le y \le \lambda$ y todo $\lambda \le y \le x \le 1$,

$$f(x) \le f(y).$$

Estas restricciones determinan un dominio convexo$\mathcal{X}\subset D[0,1]$ sobre cual $\mathcal{L}_{x^2}$ es ser optimizado

Como con cualquier programa lineal en un espacio dimensional finito, los extremos de $\mathcal{L}_g$ se alcanzará en vértices de $\mathcal{X}$. Evidentemente, estas son las medidas, absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue, que son constantes por partes , porque los vértices son donde casi todas las desigualdades se convierten en igualdades: y la mayoría de esas desigualdades están asociadas con la unimodalidad de$F$ (comportamiento de cola no creciente).

Para satisfacer las dos restricciones de igualdad, necesitamos hacer un solo salto en el gráfico de $f$, digamos en un número $0\lt \lambda \lt 1$. Dejar el valor constante en el intervalo$[0,\lambda)$ ser $a$ y el valor constante en $(\lambda, 1]$ ser $b$, un cálculo fácil basado en los rendimientos de restricciones de igualdad

$$a = \frac{1+\lambda-2\mu}{\lambda},\ b = \frac{2\mu-\lambda}{1-\lambda}.$$

Esta figura lo dice todo: representa gráficamente la función de distribución localmente constante de la media$\mu$ con un descanso como máximo en $\lambda$. (La trama de$f_{(\lambda,\mu)}$ para $\mu \gt 1/2$ parece la inversión de este.)

El valor de $\mathcal{L}_{x^2}$ a tales medidas (que denotaré $f_{(\lambda, \mu)}$, la densidad de una distribución $F_{(\lambda, \mu)}$) se calcula con la misma facilidad para ser

$$\mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\left(2\mu + (2\mu - 1)\lambda\right).$$

Esta expresión es lineal en$\lambda$, lo que implica que se maximiza en $0$ (cuando $\mu \lt 1/2$), $1$ (cuando $\mu \gt 1/2$), o en cualquier valor (cuando $\mu = 1/2$) Sin embargo, excepto cuando$\mu=1/2$, los valores límite de las medidas $f_{(\lambda, \mu)}$ ya no son continuos: la distribución correspondiente $F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$ o $F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$ tiene una discontinuidad de salto en $0$ o $1$ (pero no ambos).

Esta figura representa gráficamente lo óptimo $F$ por un medio de $\mu \approx 2/5$.

Independientemente, el valor óptimo es

$$\sigma^2_\mu = \sup_\lambda \mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\mu(2 - 3\mu).$$

En consecuencia, el infimum de $\mu(1-\mu)/\sigma^2$ para $0\le \mu \lt 1/2$ es

$$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu = \frac{3-3\mu}{2-3\mu},$$

con una expresión comparable cuando $1/2\lt \mu \le 1$ (obtenido al reemplazar $\mu$ por $1-\mu$)

Esta figura traza el supremum $\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$ versus $\mu$.