¿Estima la masa de fruta en una bolsa solo a partir de totales relacionados?

Un instructor en mi universidad planteó una pregunta como esta (no para la tarea ya que la clase terminó y yo no estaba en ella). No puedo entender cómo abordarlo.

La pregunta se refiere a 2 bolsas que contienen una variedad de diferentes tipos de frutas:

La primera bolsa contiene la siguiente fruta seleccionada al azar:

+ ------------- + -------- + --------- +
El | diámetro cm | masa g | ¿podrido? El |
+ ------------- + -------- + --------- +
El | 17,28 | 139,08 | 0 |
El | 6,57 | 91,48 | 1 |
El | 7,12 | 74,23 | 1 |
El | 16,52 | 129,8 | 0 |
El | 14,58 | 169,22 | 0 |
El | 6,99 | 123,43 | 0 |
El | 6,63 | 104,93 | 1 |
El | 6,75 | 103,27 | 1 |
El | 15,38 | 169,01 | 1 |
El | 7,45 | 83,29 | 1 |
El | 13,06 | 157,57 | 0 |
El | 6,61 | 117,72 | 0 |
El | 7,19 | 128,63 | 0 |
+ ------------- + -------- + --------- +

La segunda bolsa contiene 6 frutas seleccionadas al azar de la misma tienda que la primera bolsa. La suma de sus diámetros es de 64,2 cm y 4 están podridos.

Dar una estimación de la masa de la segunda bolsa.

Puedo ver que parece haber dos tipos diferentes de fruta con diámetros y masas normalmente distribuidos, pero no sé cómo proceder.

Comencemos trazando los datos y echémosles un vistazo. Esta es una cantidad muy limitada de datos, por lo que será algo ad hoc con muchos supuestos.

rotten <- c(0,1,1,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0)
rotten <- as.factor(rotten)
mass <- c(139.08, 
        91.48,
        74.23,
        129.8,
        169.22,
        123.43,
        104.93,
        103.27,
        169.01,
        83.29,
        157.57,
        117.72,
        128.63)
diam <- c(17.28,
        6.57,
        7.12,
        16.52,
        14.58,
        6.99,
        6.63,
        6.75,
        15.38,
        7.45,
        13.06,
        6.61,
        7.19)

plot(mass,diam,col=rotten,lwd=2)
title("Fruits")

Así que estos son los datos, los puntos rojos representan frutas podridas:

Tienes razón al suponer que parece haber dos tipos de frutas. Los supuestos que hago son los siguientes:

• El diámetro divide las frutas en dos grupos.
• Las frutas con un diámetro mayor a 10 están en un grupo, otras en el grupo más pequeño.
• Solo hay una fruta podrida en el gran grupo de frutas. Supongamos que si una fruta está en el grupo grande, estar podrido no afecta el peso. Esto es esencial, ya que solo tenemos un punto de datos en ese grupo.
• Si la fruta es una fruta pequeña, estar podrido afecta la masa.
• Supongamos que las variables diam y mass están normalmente distribuidas.

Debido a que se da que la suma del diámetro es de 64,2 cm, lo más probable es que dos frutos sean grandes y cuatro pequeños. Ahora hay 3 casos para el peso. Hay 2, 3 o 4 frutas pequeñas podridas ( una fruta grande podrida no afecta a la masa por suposición ). Entonces, ahora puede obtener límites en su masa calculando estos valores.

Podemos estimar empíricamente la probabilidad de que el número de frutos pequeños se pudra. Utilizamos las probabilidades para ponderar nuestras estimaciones de la masa, dependiendo del número de frutos podridos:

samps <- 100000
stored_vals <- matrix(0,samps,2)
for(i in 1:samps){
  numF <- 0 # Number of small rotten
  numR <- 0 # Total number of rotten
  # Pick 4 small fruits
  for(j in 1:4){
    if(runif(1) < (5/8)){ # Empirical proportion of small rotten
      numF <- numF + 1
      numR <- numR + 1
    } 
  }
  # Pick 2 large fruits
  for(j in 1:2){
    if(runif(1) < 1/5){# Empirical proportion of large rotten
      numR <- numR + 1
    }
  }
  stored_vals[i,] <- c(numF,numR)
}

# Pick out samples that had 4 rotten
fourRotten <- stored_vals[stored_vals[,2] == 4,1]
hist(fourRotten)

table(fourRotten)

# Proportions 
props <- table(fourRotten)/length(fourRotten)

massBig <- mean(mass[diam>10])
massSmRot <- mean(mass[diam<10 & rotten == 1])
massSmOk <- mean(mass[diam<10 & rotten == 0])

weights <- 2*massBig + c(2*massSmOk+2*massSmRot,1*massSmOk+3*massSmRot,4*massSmRot)

Est_Mass <- sum(props*weights) 

Dándonos una estimación final de 691.5183g . Creo que tiene que hacer la mayor parte de las suposiciones que he hecho para llegar a una conclusión, pero creo que podría ser posible hacerlo de una manera más inteligente. También tomo muestras empíricamente para obtener la probabilidad del número de frutos pequeños podridos, eso es solo pereza y se puede hacer "analíticamente".

Yo propondría el siguiente enfoque:

1. Genera todas las 6 tuplas que satisfacen las condiciones en 4 podridas. Son .${6\choose 4}{7\choose 2}$
2. Seleccione de las tuplas generadas solo aquellas que satisfagan la condición del diámetro.
3. Calcule el peso promedio de las tuplas seleccionadas (promedio aritmético habitual).

Todo esto es manejable mediante un simple script.

Los enfoques múltiples incluyen, desde el más simple hasta el complejo,

1. 6 (masa media)
2. 6 (volumen medio) (densidad media)
3. 4 (masa podrida media) + 2 (masa no podrida media)
4. 4 ((volumen medio podrido) + 2 (volumen medio no podrido)) (densidad media)
5. 4 (volumen medio podrido) (densidad media podrida) + 2 (volumen medio no podrido) (densidad media no podrida)

. . .

métodos combinatorios

Los enfoques se organizan en orden de simplicidad de cálculo, no en orden de que ningún enfoque sea mejor, o que no sea bueno en absoluto. La selección de qué enfoque usar depende de qué características de la población se conocen o se asumen. Por ejemplo, si las masas de frutas en la población de la tienda están normalmente distribuidas e independientes de los diámetros y el estado de pudrición, se podría usar el primer enfoque más simple sin ninguna ventaja (o incluso desventajas del error de muestreo de múltiples variables) de usar enfoques más complejos . Si no son variables aleatorias distribuidas idénticamente independientes, entonces una elección más compleja dependiendo de la información conocida o supuesta sobre la población puede ser mejor.