Pruebe la cointegración entre dos series de tiempo utilizando el método de dos pasos Engle – Granger

Estoy tratando de probar la cointegración entre dos series de tiempo. Ambas series tienen datos semanales que abarcan ~ 3 años.

Estoy tratando de hacer el método de dos pasos de Engle-Granger. Mi orden de operaciones sigue.

1. Pruebe cada serie de tiempo para la raíz de la unidad a través de Dickey-Fuller Aumentado.
2. Suponiendo que ambos tienen raíces unitarias, luego encuentre una aproximación lineal de la relación a través de OLS. Luego crea una serie de los residuos.
3. Pruebe los residuos para la raíz unitaria mediante Dickey-Fuller aumentado.
4. Concluir la cointegración (o no) por el resultado de 3.

Preguntas:

1. ¿Este método se ve bien? (Soy estudiante universitario y estoy buscando analizar mis datos de manera legítima, no necesariamente analizarlos en el método más riguroso conocido).
2. Si una serie no puede rechazar la hipótesis nula con el ADF (y, por lo tanto, no tiene una raíz unitaria) en el paso 1, ¿es razonable concluir que las dos series no están integradas porque un conjunto de datos no es estacionario? No lo creo, pero quiero estar seguro.
3. Ambos conjuntos de datos parecen "estocásticos", por lo que me pregunto si es apropiado usar OLS para medir la relación para obtener los residuos.

En primer lugar, considere dos series de tiempo, y x 2 t, que ambas son I ( 1 ) , es decir, ambas series contienen una raíz unitaria. Si estas dos series cointegran, entonces existirán coeficientes, μ y β 2 , de manera que: $x_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$$\mu$$\beta_{2}$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+u_{t}\quad\left(1\right)$ $\\$

definirá un equilibrio. Para probar la cointegración utilizando el enfoque de 2 pasos de Engle-Granger, haríamos

$\\$ 1) Probar la serie, y x 2 t para las raíces de la unidad. Si ambos sonI ( 1 ) , continúe con el paso 2).$x{}_{1t}$$x_{2t}$$I\left(1\right)$

$\\$ 2) Ejecute la ecuación de regresión definida anteriormente y guarde los residuos. Defino un nuevo término “corrección de .$\hat{u}_{t}=\hat{ecm}_{t}$

$\\$ 3) Pruebe los residuos ( ) para una raíz unitaria. Tenga en cuenta que esta prueba es lo mismo que una prueba de no cointegración ya que bajo la hipótesis nula los residuos no son estacionarios. Sin embargo, si hay cointegración, los residuos deben ser estacionarios. Recuerde que la distribución para la prueba ADF basada en residuos no es la misma que las distribuciones DF habituales y dependerá de la cantidad de parámetros estimados en la regresión estática anterior ya que las variables adicionales en la regresión estática desplazarán las distribuciones DF a izquierda. Los valores críticos del 5% para un parámetro estimado en la regresión estática con una constante y tendencia son -3.34 y -3.78 respectivamente. $\hat{ecm}_{t}$$\\$

4) Si rechaza el nulo de una raíz unitaria en los residuos (nulo de no cointegración), entonces no puede rechazar que las dos variables cointegran. $\\$

5) Si desea configurar un modelo de corrección de errores e investigar la relación a largo plazo entre las dos series, le recomendaría que configure un modelo ADL o ECM, ya que hay un pequeño sesgo de muestra adjunto al Engle- Regresión estática de Granger y no podemos decir nada sobre la importancia de los parámetros estimados en la regresión estática, ya que la distribución depende de parámetros desconocidos. Para responder a sus preguntas: 1) Como se ve arriba, su método es correcto. Solo quería señalar que los valores críticos de las pruebas basadas en residuos no son los mismos que los valores críticos habituales de la prueba ADF. $\\$

$\\$

(2) Si una de las series es estacionaria, es decir, y la otra es I ( 1 ) , no se pueden cointegrar ya que la cointegración implica que comparten tendencias estocásticas comunes y que una relación lineal entre ellas es estacionaria desde el estocástico las tendencias se cancelarán y producirán una relación estacionaria. Para ver esto, considere las dos ecuaciones: $I\left(0\right)$$I\left(1\right)$$\\$

$x_{1t}=\mu+\beta_{2}x_{2t}+\varepsilon_{1t}\quad\left(2\right)$

$\Delta x_{2t}=\varepsilon_{2t}\quad\left(3\right)$

Tenga en cuenta que , x 1 t ∼ I ( 1 ) , x 2 t ∼ I ( 1 ) , u t = β ′ x t ∼ I ( 0 ) , ε 1 t ∼ i . yo . d $\varepsilon_{2t}\sim i.i.d.$$x_{1t}\sim I\left(1\right)$$x_{2t}\sim I\left(1\right)$$u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$$\varepsilon_{1t}\sim i.i.d.$

$\\$

Primero resolvemos la ecuación y obtenemos $\left(3\right)$$\\$

$x_{2t}=x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$ $\\$

Inserte esta solución en la ecuación para obtener: $\left(2\right)$$\\$

$x_{1t} =\mu+\beta_{2}\left\{ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}\right\} +\varepsilon_{1t} x_{1t} =\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}$ $\\$

Vemos en las dos series compartir una tendencia estocástica común. Entonces podemos definir un vector de cointegración tal que: $\beta=\left(1\;-\beta_{2}\right)\prime$$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\left(1\;-\beta_{2}\right)\left(\begin{array}{c} \mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}\\ x_{0}+\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i} \end{array}\right)$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\beta_{2}x_{0}+\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}+\varepsilon_{1t}-\beta_{2} x_{0}-\beta_{2}\sum_{i=0}^{t}\varepsilon_{2i}$

$\\$

$u_{t}=\beta\prime x_{t}=\mu+\varepsilon_{1t}$

We see that by defining a correct cointegrating vector the two stochastic trends cancel and the relationship between them is stationary ($u_{t}=\beta\prime x_{t}\sim I\left(0\right)$). If $x_{1t}$ was $I\left(0\right)$ then the stochastic trend in $x_{2t}$ would not be deleted by defining a cointegrating relationship. So yes you need both your series to be $I\left(1\right)$! $\\$

$\\$

(3) The last question. Yes OLS is valid to use on the two stochastic series since it can be shown that the OLS estimator for the static regression (Eq. $\left(1\right)$) will be super consistent (variance converges to zero at $T^{-2}$) when both series are $I\left(1\right)$ and when they cointegrate. So if you find cointegration and your series are $I\left(1\right)$ your estimates will be super consistent. If you do not find cointegration then the static regression will not be consistent. For further readings see the seminal paper by Engle and Granger, 1987, Co-Integration, Error Correction: Representation, Estimation and Testing.